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Determine uma solução geral para a equação diferencial separável dada por (1+y)dy-xdx = 0. A 2y+y² - α² + 2c=0 B x + 5y + xy = 2 C 2y+x²=3 D x² + y² = 0
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anteontem

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anteontem

Para resolver a equação diferencial separável dada por \((1+y)dy - xdx = 0\), vamos separá-la: 1. Reescrevendo, temos: \[ (1+y)dy = xdx \] 2. Agora, integramos ambos os lados: \[ \int (1+y) dy = \int x dx \] 3. A integral do lado esquerdo é: \[ y + \frac{y^2}{2} + C_1 \] E a integral do lado direito é: \[ \frac{x^2}{2} + C_2 \] 4. Igualando as integrais, temos: \[ y + \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C \] onde \(C = C_2 - C_1\). 5. Multiplicando toda a equação por 2 para simplificar, obtemos: \[ 2y + y^2 = x^2 + 2C \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \(2y + y^2 - \alpha^2 + 2c = 0\) - Não se encaixa na forma que encontramos. B) \(x + 5y + xy = 2\) - Não se encaixa na forma que encontramos. C) \(2y + x^2 = 3\) - Não se encaixa na forma que encontramos. D) \(x^2 + y^2 = 0\) - Não se encaixa na forma que encontramos. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde exatamente à solução geral que encontramos. Portanto, parece que não há uma alternativa correta entre as opções dadas. Você pode precisar revisar as opções ou verificar se há um erro nas alternativas apresentadas.

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