Sabendo que as equações separáveis são solucionadas por integração direta, encontre a solução geral da equação y2y' = z5 + x

Para resolver a equação diferencial \( y^2 y' = z^5 + x \), primeiro, vamos reescrever a equação na forma separável. Sabemos que \( y' = \frac{dy}{dx} \), então podemos reescrever a equação como: \[ y^2 \frac{dy}{dx} = z^5 + x \] Agora, separamos as variáveis: \[ y^2 dy = (z^5 + x) dx \] Agora, integramos ambos os lados: \[ \int y^2 dy = \int (z^5 + x) dx \] A integral do lado esquerdo é: \[ \frac{y^3}{3} + C_1 \] E a integral do lado direito é: \[ z^5 x + \frac{x^2}{2} + C_2 \] Assim, temos: \[ \frac{y^3}{3} = z^5 x + \frac{x^2}{2} + C \] onde \( C = C_2 - C_1 \) é uma constante de integração. Portanto, a solução geral da equação é: \[ y^3 = 3(z^5 x + \frac{x^2}{2} + C) \] Essa é a solução geral da equação diferencial dada.