Como a Transformada de Laplace é linear podemos concluir que, se a transformada de f ( t ) = e − t f(t)=e −t f, left parenthesis, t, right parenthesis

Question

Como a Transformada de Laplace é linear podemos concluir que, se a transformada de f ( t ) = e − t f(t)=e −t f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, e, start superscript, minus, t, end superscript é F ( s ) = 1 s + 1 F(s)= s+1 1 ​ F, left parenthesis, s, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, s, plus, 1, end fraction, então a Transformada de g ( t ) = f ( t ) f ( t ) = f ( t ) 2 g(t)=f(t)f(t)=f(t) 2 g, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, t, right parenthesis, f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, t, right parenthesis, squared é G ( s ) = F ( s ) 2 = 1 ( s + 1 ) 2 = 1 ( s + 1 ) ( s + 1 ) G(s)=F(s) 2 = (s+1) 2 1 ​ = (s+1)(s+1) 1 ​ G, left parenthesis, s, right parenthesis, equals, F, left parenthesis, s, right parenthesis, squared, equals, start fraction, 1, divided by, left parenthesis, s, plus, 1, right parenthesis, squared, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, left parenthesis, s, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, s, plus, 1, right parenthesis, end fraction. Verdadeiro ou falso?

Ed · Answer

Vamos analisar a afirmação sobre a Transformada de Laplace e a função $ g(t) = f(t)^2 $.

1. A Transformada de Laplace de $ f(t) = e^{-t} $ é dada por $ F(s) = \frac{1}{s + 1} $. Isso está correto.
2. Quando consideramos $ g(t) = f(t)^2 $, a Transformada de Laplace de $ g(t) $ não é simplesmente $ G(s) = F(s)^2 $. A Transformada de Laplace de um produto de funções não é a mesma que o produto das transformadas, a menos que se trate de uma convolução, o que não é o caso aqui.
3. Portanto, a afirmação de que $ G(s) = F(s)^2 = \frac{1}{(s + 1)^2} $ é incorreta, pois a Transformada de Laplace de $ f(t)^2 $ não é simplesmente o quadrado da Transformada de Laplace de $ f(t) $.

Dessa forma, a afirmação é **falsa**.

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