Pergunta 5 Os conceitos de autovalores e autovetores são fundamentais na análise de matrizes e suas transformações lineares. Considere a matriz quadra

Question

Pergunta 5 Os conceitos de autovalores e autovetores são fundamentais na análise de matrizes e suas transformações lineares. Considere a matriz quadrada A equals open square brackets table row 3 1 row 0 2 end table close square brackets. Sabendo-se que os autovalores de A são encontrados resolvendo a equação característica d e t left parenthesis blank straight lambda blank I minus blank straight capital alpha blank right parenthesis equals 0 . E para se encontrar os autovetores, resolvemos a equação blank straight capital alpha blank v equals blank straight lambda blank v. Analise as seguintes afirmações sobre seus autovalores e autovetores: Os autovalores de A são blank straight lambda blank subscript 1 equals 3 space e space blank straight lambda blank subscript 2 equals 2 . Um autovetor correspondente ao autovalor lambda subscript 1 space é space nu subscript 1 space end subscript equals open square brackets table row 1 row 0 end table close square brackets Um autovetor correspondente ao autovalor lambda subscript 2 space é space nu subscript 2 space equals open square brackets table row 1 row 1 end table close square brackets. É correto o que se afirma em: a. I e III, apenas. b. I, II e III. c. I, apenas. d. III, apenas. e. I e II, apenas.

Ed · Answer

Vamos analisar as afirmações sobre a matriz $ A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \ 0 & 2 \end{bmatrix} $:

1. **Autovalores**: Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica $ \text{det}(\lambda I - A) = 0 $.

$$
   \lambda I - A = \begin{bmatrix} \lambda - 3 & -1 \ 0 & \lambda - 2 \end{bmatrix}
   $$

O determinante é:

$$
   \text{det}(\lambda I - A) = (\lambda - 3)(\lambda - 2) = 0
   $$

Portanto, os autovalores são $ \lambda_1 = 3 $ e $ \lambda_2 = 2 $. A afirmação I está correta.

2. **Autovetores**:
   - Para $ \lambda_1 = 3 $:

$$
   (A - 3I)v = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = 0
   $$

Isso nos dá $ x_2 = 0 $, então um autovetor correspondente é $ v_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} $. A afirmação II está correta.

- Para $ \lambda_2 = 2 $:

$$
   (A - 2I)v = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = 0
   $$

Isso nos dá $ x_1 + x_2 = 0 $, ou seja, $ x_2 = -x_1 $. Um autovetor correspondente é $ v_2 = \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix} $, que não é igual ao que foi afirmado (que era $ \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix} $). Portanto, a afirmação III está incorreta.

Resumindo:
- I está correta.
- II está correta.
- III está incorreta.

A alternativa que contém todos os itens verdadeiros é: **b) I, II e III**.

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