Para resolver a integral indefinida da função \( f(x) = x^2 \cos(x) \), podemos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é dada por: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \( u = x^2 \) (então \( du = 2x \, dx \)) - \( dv = \cos(x) \, dx \) (então \( v = \sin(x) \)) Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) - \int \sin(x) \cdot 2x \, dx \] Agora, precisamos integrar \( \int 2x \sin(x) \, dx \) novamente usando integração por partes. Vamos escolher: - \( u = 2x \) (então \( du = 2 \, dx \)) - \( dv = \sin(x) \, dx \) (então \( v = -\cos(x) \)) Aplicando novamente a fórmula: \[ \int 2x \sin(x) \, dx = -2x \cos(x) + \int 2 \cos(x) \, dx \] A integral de \( 2 \cos(x) \) é \( 2 \sin(x) \). Portanto, temos: \[ \int 2x \sin(x) \, dx = -2x \cos(x) + 2 \sin(x) \] Substituindo de volta na primeira integral: \[ \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) - (-2x \cos(x) + 2 \sin(x)) \] Simplificando: \[ \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2 \sin(x) + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \int f(x) \, dx = (x^2 - 2) \sin(x) + 2x \cos(x) + C \) b) \( \int f(x) \, dx = 2x \cos(x) - x^2 \sin(x) + C \) c) \( \int f(x) \, dx = \frac{1}{3} x^3 \sin(x) + C \) d) \( \int f(x) \, dx = -2x \sin(x) + C \) e) \( \int f(x) \, dx = (2 - x^2) \sin(x) + 2x \cos(x) + C \) A alternativa que mais se aproxima do resultado que encontramos é a e) \( \int f(x) \, dx = (2 - x^2) \sin(x) + 2x \cos(x) + C \), pois podemos reescrever \( x^2 \sin(x) - 2 \sin(x) \) como \( (2 - x^2) \sin(x) \). Portanto, a resposta correta é a e).