Sejam A e B matrizes n × n, e B uma matriz simétrica. Dadas as afirmacoes: (I) AB + BAt é simétrica. (II) (A + At + B) é simétrica. (III) ABAt é simétrica. temos que:
a) apenas (I) é verdadeira.
b) apenas (II) é verdadeira.
c) apenas (III) é verdadeira.
d) apenas (I) e (III) são verdadeiras.
e) todas as afirmações são verdadeiras.
f) Não sei.

Question

Sejam A e B matrizes n × n, e B uma matriz simétrica. Dadas as afirmacoes: (I) AB + BAt é simétrica. (II) (A + At + B) é simétrica. (III) ABAt é si...

Ed · Answer

Vamos analisar cada uma das afirmações:

I) $ AB + B A^t $ é simétrica.  
Para que uma matriz $ C $ seja simétrica, deve-se ter $ C^t = C $. Vamos verificar:
$$
(AB + B A^t)^t = (B A^t)^t + (AB)^t = A B^t + B A = A B + B A^t \quad (\text{já que } B \text{ é simétrica, ou seja, } B^t = B)
$$
Portanto, a afirmação I é verdadeira.

II) $ (A + A^t + B) $ é simétrica.  
Para que essa matriz seja simétrica, devemos ter:
$$
(A + A^t + B)^t = A^t + A + B^t = A^t + A + B \quad (\text{novamente, } B \text{ é simétrica})
$$
Assim, a afirmação II também é verdadeira.

III) $ AB A^t $ é simétrica.  
Verificamos se $ (AB A^t)^t = AB A^t $:
$$
(AB A^t)^t = (A^t)^t B^t A^t = A B A^t
$$
Como $ B $ é simétrica, $ B^t = B $. Portanto, a afirmação III é verdadeira.

Dessa forma, todas as afirmações I, II e III são verdadeiras.

Portanto, a alternativa correta é: e) todas as afirmações são verdadeiras.

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Dada a matriz e definindo-se A0 = I, A1 = A e AK = A A A … A, com k fatores, onde I é uma matriz identidade de ordem 2, k ∈ IN*, a matriz A15 será dada por:
a) I.
b) A.
c) A2.
d) A3.
e) A4.
f) Não sei.

Se A, B e C forem matrizes quadradas quaisquer de ordem n, assinale a única alternativa verdadeira.
a) AB = BA.
b) Se AB = AC, então B = C.
c) Se A2 = On (matriz nula), então A = On.
d) (AB)C = A(BC).
e) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
f) Não sei.

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Dada a matriz e definindo-se A0 = I, A1 = A e AK = A A A … A, com k fatores, onde I é uma matriz identidade de ordem 2, k ∈ IN*, a matriz A15 será dada por:a) I.b) A.c) A2.d) A3.e) A4.f) Não sei.

Se A, B e C forem matrizes quadradas quaisquer de ordem n, assinale a única alternativa verdadeira.a) AB = BA.b) Se AB = AC, então B = C.c) Se A2 = On (matriz nula), então A = On.d) (AB)C = A(BC).e) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.f) Não sei.

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Dada a matriz e definindo-se A0 = I, A1 = A e AK = A A A … A, com k fatores, onde I é uma matriz identidade de ordem 2, k ∈ IN*, a matriz A15 será dada por:
a) I.
b) A.
c) A2.
d) A3.
e) A4.
f) Não sei.

Se A, B e C forem matrizes quadradas quaisquer de ordem n, assinale a única alternativa verdadeira.
a) AB = BA.
b) Se AB = AC, então B = C.
c) Se A2 = On (matriz nula), então A = On.
d) (AB)C = A(BC).
e) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
f) Não sei.