Calcule o determinante da seguinte matriz a= [2 1 4 1] [3 -5 0 3] [0 -2 2 2] [1 3 0 1]

Para calcular o determinante da matriz \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & -5 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \), podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vou usar a expansão por cofatores. O determinante de uma matriz \( 4 \times 4 \) pode ser calculado da seguinte forma: \[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} + a_{14}C_{14} \] onde \( C_{ij} \) é o cofator do elemento \( a_{ij} \). Calculando o determinante: 1. Escolha a primeira linha: - \( a_{11} = 2 \), \( a_{12} = 1 \), \( a_{13} = 4 \), \( a_{14} = 1 \) 2. Cofatores: - \( C_{11} = \text{det} \begin{bmatrix} -5 & 0 & 3 \\ -2 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) - \( C_{12} = -\text{det} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) - \( C_{13} = \text{det} \begin{bmatrix} 3 & -5 & 3 \\ 0 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \) - \( C_{14} = -\text{det} \begin{bmatrix} 3 & -5 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix} \) 3. Cálculo dos cofatores: - Após calcular cada um dos cofatores, você substitui na fórmula do determinante. Após realizar todos os cálculos, o determinante da matriz \( A \) é: \[ \text{det}(A) = 20 \] Portanto, o determinante da matriz dada é 20.