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(Ita 2004) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n × n, n ≥ 2: I. O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula. II. Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1,2,...,n, então det A = a11a22...ann. III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por e a segunda por , mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det B = det A. Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)
I. O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula.
II. Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1,2,...,n, então det A = a11a22...ann.
III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por e a segunda por , mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det B = det A.
a) apenas II.
b) apenas III.
c) apenas I e II.
d) apenas II e III.
e) todas.
f) Não sei.
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Vamos analisar cada uma das afirmações: I. O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula. Essa afirmação é verdadeira. Se uma matriz possui uma linha ou coluna nula, seu determinante é nulo. E, se o determinante é nulo, isso implica que a matriz não é invertível, o que pode ocorrer se houver uma linha ou coluna nula. II. Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1,2,...,n, então det A = a11a22...ann. Essa afirmação é verdadeira. A matriz é triangular superior, e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por um escalar e a segunda por outro, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det B = det A. Essa afirmação é falsa. Quando multiplicamos uma coluna de uma matriz por um escalar, o determinante é multiplicado por esse escalar. Portanto, essa afirmação não é verdadeira. Com base nas análises: - A afirmação I é verdadeira. - A afirmação II é verdadeira. - A afirmação III é falsa. Portanto, a alternativa correta que contém todas as afirmações verdadeiras é: c) apenas I e II.

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