Vamos analisar cada uma das afirmações: (I) \( AB + B A^t \) é simétrica. Para que uma matriz \( C \) seja simétrica, deve-se ter \( C^t = C \). Vamos verificar: \[ (AB + B A^t)^t = (B A^t)^t + (AB)^t = A B^t + B A = A B + B A \] Como \( B \) é simétrica, \( B^t = B \). Portanto, a afirmação (I) é verdadeira. (II) \( (A + A^t + B) \) é simétrica. Para que essa matriz seja simétrica, devemos verificar: \[ (A + A^t + B)^t = A^t + (A^t)^t + B^t = A^t + A + B = A + A^t + B \] Como \( B \) é simétrica, a afirmação (II) também é verdadeira. (III) \( AB A^t \) é simétrica. Vamos verificar se \( (AB A^t)^t = AB A^t \): \[ (AB A^t)^t = (A^t)^t B^t A^t = A B A^t \] Como \( B \) é simétrica, \( B^t = B \). Portanto, a afirmação (III) é verdadeira. Agora, como todas as afirmações (I), (II) e (III) são verdadeiras, a alternativa correta é: e) todas as afirmações são verdadeiras.