Qual o coeficiente de x2 · y5 ·z3 na expansão de (x + y + z)10?

Para encontrar o coeficiente de \(x^2 \cdot y^5 \cdot z^3\) na expansão de \((x + y + z)^{10}\), podemos usar o Teorema do Binômio Multivariado. A fórmula geral para o coeficiente de \(x^a \cdot y^b \cdot z^c\) na expansão de \((x + y + z)^n\) é dada por: \[ \frac{n!}{a! \cdot b! \cdot c!} \] onde \(n\) é o expoente total, e \(a\), \(b\) e \(c\) são os expoentes de \(x\), \(y\) e \(z\), respectivamente. Neste caso, temos: - \(n = 10\) - \(a = 2\) - \(b = 5\) - \(c = 3\) Agora, substituímos na fórmula: \[ \text{Coeficiente} = \frac{10!}{2! \cdot 5! \cdot 3!} \] Calculando: - \(10! = 3628800\) - \(2! = 2\) - \(5! = 120\) - \(3! = 6\) Portanto: \[ \text{Coeficiente} = \frac{3628800}{2 \cdot 120 \cdot 6} = \frac{3628800}{1440} = 2520 \] Assim, o coeficiente de \(x^2 \cdot y^5 \cdot z^3\) na expansão de \((x + y + z)^{10}\) é 2520.