Para resolver o problema, precisamos considerar que os 12 cavaleiros estão dispostos em uma mesa redonda e que cada cavaleiro tem dois vizinhos que são considerados rivais. Portanto, ao escolher um cavaleiro, não podemos escolher seus dois vizinhos. Vamos usar a técnica de contagem para resolver isso. 1. Escolha do primeiro cavaleiro: Se escolhermos um cavaleiro, não podemos escolher os dois vizinhos dele. Assim, se escolhermos um cavaleiro, temos que pular os dois vizinhos. 2. Formação do grupo: Precisamos escolher 5 cavaleiros, e como cada cavaleiro escolhido impede a escolha de seus vizinhos, isso significa que, ao escolher um cavaleiro, estamos efetivamente "bloqueando" 3 posições (o cavaleiro escolhido e seus dois vizinhos). 3. Cavaleiros restantes: Após escolher um cavaleiro, restam 9 cavaleiros (12 - 3 = 9) para escolher os outros 4 cavaleiros. 4. Distribuição: Para garantir que não haja rivais, podemos pensar em uma abordagem combinatória. Se considerarmos que escolhemos 5 cavaleiros, podemos usar a fórmula de combinação, mas precisamos garantir que não estamos escolhendo rivais. 5. Cálculo: O número de maneiras de escolher 5 cavaleiros de 12, sem que haja rivais, pode ser calculado usando a combinação de cavaleiros que não são vizinhos. Isso pode ser feito através de uma abordagem de "cavaleiros não adjacentes". A solução final para o número de maneiras de escolher 5 cavaleiros de 12, sem que haja rivais, é dada por: \[ \text{Número de maneiras} = \binom{n-k}{k} \] onde \( n \) é o número total de cavaleiros e \( k \) é o número de cavaleiros a serem escolhidos. Após realizar os cálculos, a resposta é que existem 12 maneiras de escolher 5 cavaleiros de 12, de forma que não haja rivais no grupo.