Quantas maneiras conseguimos abrir e fechar 6 parênteses?

Para resolver a questão de quantas maneiras conseguimos abrir e fechar 6 parênteses, podemos usar a fórmula dos números de Catalan. O número de maneiras de organizar \( n \) pares de parênteses é dado pelo \( n \)-ésimo número de Catalan, que é calculado pela fórmula: \[ C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} \] No seu caso, \( n = 6 \): \[ C_6 = \frac{1}{6+1} \binom{12}{6} = \frac{1}{7} \cdot 924 = 132 \] Portanto, existem 132 maneiras de abrir e fechar 6 parênteses corretamente.