Para resolver essa questão, vamos analisar as informações dadas sobre a função quadrática \( f \). 1. Condições da função \( f \): - \( f(x) > 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \): Isso indica que a parábola está voltada para cima e não intercepta o eixo x. - Intercepta a função \( g(x) = 2 \) em um único ponto cuja abscissa é 2: Isso significa que \( f(2) = 2 \). - O ponto \( R(0, -3) \) tem um ponto simétrico \( Q \) em relação à origem, que será \( Q(0, 3) \). 2. Forma da função \( f \): - Como \( f \) é uma função quadrática que é positiva para todos os \( x \) e intercepta \( g \) em \( x = 2 \), podemos assumir que a função tem a forma \( f(x) = a(x - 2)^2 + 2 \), onde \( a > 0 \). 3. Ponto \( Q \): - O ponto \( Q(0, 3) \) indica que \( f(0) = 3 \). Substituindo na forma da função: \[ f(0) = a(0 - 2)^2 + 2 = 3 \] \[ 4a + 2 = 3 \implies 4a = 1 \implies a = \frac{1}{4} \] - Portanto, a função \( f \) é: \[ f(x) = \frac{1}{4}(x - 2)^2 + 2 \] 4. Encontrando o menor valor de \( f \): - O vértice da parábola \( f \) está em \( x = 2 \) e o valor mínimo é \( f(2) = 2 \). 5. Função \( h \): - A função \( h \) intercepta \( f \) no eixo y e no ponto de menor ordenada de \( f \), que é \( (0, 3) \). 6. Analisando as alternativas: - A inequação que estamos considerando é \( f(x) \geq h(x) \). Como \( f \) é sempre maior que 0 e atinge o valor mínimo em \( y = 2 \), precisamos verificar onde \( f(x) \) é maior ou igual a 2. Agora, vamos analisar as opções: - a) [0, 8] - b) [1, 7] - c) [2, 6] - d) [3, 5] Como \( f(x) \) é sempre maior que 2 para \( x \) fora do intervalo que intercepta \( g \), a solução da inequação deve incluir o intervalo onde \( f(x) \) é maior ou igual a 2. A única opção que se encaixa é a) [0, 8], pois abrange o intervalo onde \( f(x) \) é maior ou igual a 2. Portanto, a alternativa correta é: a) [0, 8].