Para resolver a integral de linha da função \( f(x,y,z) = x^2y + z \) sobre a curva definida por \( \gamma(t) = (t, 2t^2, t+5) \) com \( 0 \leq t \leq 5 \), precisamos primeiro expressar a função \( f \) em termos de \( t \). Substituindo \( x = t \), \( y = 2t^2 \) e \( z = t + 5 \) na função \( f \): \[ f(t) = t^2(2t^2) + (t + 5) = 2t^4 + t + 5 \] Agora, precisamos calcular a derivada da curva \( \gamma(t) \) para encontrar \( \frac{d\gamma}{dt} \): \[ \gamma'(t) = \left(1, 4t, 1\right) \] A norma de \( \gamma'(t) \) é: \[ \|\gamma'(t)\| = \sqrt{1^2 + (4t)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 16t^2 + 1} = \sqrt{2 + 16t^2} \] A integral de linha é dada por: \[ \int_C f \, ds = \int_0^5 f(t) \|\gamma'(t)\| \, dt \] Substituindo \( f(t) \) e \( \|\gamma'(t)\| \): \[ \int_0^5 (2t^4 + t + 5) \sqrt{2 + 16t^2} \, dt \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \int_0^5 (t^4 + t + 5)(t^2 + 2) \, dt \) B) \( \int_0^5 (2t^4 + t + 5)(16t^2 + 2) \, dt \) C) (não fornecida) A alternativa que parece mais próxima do que encontramos, considerando a forma da função e a norma, é a B, pois inclui o termo \( 2t^4 \) e um fator que se relaciona com a norma da derivada. Portanto, a alternativa correta é: B.