Para encontrar o vetor gradiente da função \( f(x, y) = y \sen(xy) \) no ponto \( P(1, m) \), precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a \( x \) e \( y \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(y \sen(xy)) = y^2 \cos(xy) \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(y \sen(xy)) = \sen(xy) + xy \cos(xy) \] Agora, substituímos \( x = 1 \) e \( y = m \): - Para \( f_x(1, m) \): \[ f_x(1, m) = m^2 \cos(m) \] - Para \( f_y(1, m) \): \[ f_y(1, m) = \sen(m) + m \cos(m) \] Assim, o vetor gradiente \( \nabla f(1, m) \) é dado por: \[ \nabla f(1, m) = \left( m^2 \cos(m), \sen(m) + m \cos(m) \right) \] Portanto, a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função \( f(x, y) = y \sen(xy) \) no ponto \( P(1, m) \) é: \[ \nabla f(1, m) = \left( m^2 \cos(m), \sen(m) + m \cos(m) \right) \]