Para aplicar o método de Newton-Raphson, precisamos da função \( f(x) \) e sua derivada \( f'(x) \). A função dada é: \[ f(x) = -0,4x^2 + 2,2x + 4,7 \] Calculando a derivada: \[ f'(x) = -0,8x + 2,2 \] Agora, vamos escolher um ponto inicial. Como o intervalo dado é [5, 10], podemos começar com \( x_0 = 6 \). Agora, aplicamos o método de Newton-Raphson, que é dado pela fórmula: \[ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \] Vamos calcular as iterações: 1. Iteração 0 (k=0): - \( x_0 = 6 \) - \( f(6) = -0,4(6^2) + 2,2(6) + 4,7 = -14,4 + 13,2 + 4,7 = 3,5 \) - \( f'(6) = -0,8(6) + 2,2 = -4,8 + 2,2 = -2,6 \) - \( x_1 = 6 - \frac{3,5}{-2,6} \approx 6 + 1,346 = 7,346 \) 2. Iteração 1 (k=1): - \( x_1 \approx 7,346 \) - \( f(7,346) = -0,4(7,346^2) + 2,2(7,346) + 4,7 \approx -0,4(54,063) + 16,155 + 4,7 \approx -21,625 + 16,155 + 4,7 \approx -0,77 \) - \( f'(7,346) = -0,8(7,346) + 2,2 \approx -5,877 + 2,2 \approx -3,677 \) - \( x_2 = 7,346 - \frac{-0,77}{-3,677} \approx 7,346 - 0,209 = 7,137 \) 3. Iteração 2 (k=2): - \( x_2 \approx 7,137 \) - \( f(7,137) = -0,4(7,137^2) + 2,2(7,137) + 4,7 \approx -0,4(50,883) + 15,703 + 4,7 \approx -20,353 + 15,703 + 4,7 \approx 0,05 \) - \( f'(7,137) = -0,8(7,137) + 2,2 \approx -5,709 + 2,2 \approx -3,509 \) - \( x_3 = 7,137 - \frac{0,05}{-3,509} \approx 7,137 + 0,014 = 7,151 \) Após 3 iterações, a aproximação para a raiz da função é aproximadamente \( x \approx 7,151 \). Analisando as alternativas: A) \( x = 6,992033854 \) B) \( x = 7,144598958 \) C) \( x = 7,213656308 \) D) \( x = 7,439763654 \) A alternativa que mais se aproxima do resultado obtido é a B) x = 7,144598958.