O Teorema de Fubini é uma ferramenta fundamental no cálculo de integrais duplas, permitindo que uma integral dupla seja avaliada como uma iteração de integrais simples. Suponha que f parêntese esquerdo x vírgula y parêntese direito é uma função contínua definida em um retângulo R igual a parêntese recto esquerdo a vírgula b parêntese recto direito sinal de multiplicação parêntese recto esquerdo c vírgula d parêntese recto direito. Com base no Teorema de Fubini, a integral dupla de f sobre R pode ser calculada como uma integral iterada. Qual das expressões a seguir representa corretamente a aplicação do Teorema de Fubini para a integral dupla de f parêntese esquerdo x vírgula y parêntese direito sobre o retângulo R igual a parêntese recto esquerdo a vírgula b parêntese recto direito sinal de multiplicação parêntese recto esquerdo c vírgula d parêntese recto direito?

Question

O Teorema de Fubini é uma ferramenta fundamental no cálculo de integrais duplas, permitindo que uma integral dupla seja avaliada como uma iteração ...

Ed · Answer

Para aplicar o Teorema de Fubini em uma integral dupla, a integral de uma função contínua $ f(x, y) $ sobre um retângulo $ R = [a, b] \times [c, d] $ pode ser expressa como uma integral iterada. Isso significa que podemos calcular a integral dupla como uma sequência de integrais simples.

A forma correta de aplicar o Teorema de Fubini é:

$$
\iint_R f(x, y) \, dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y) \, dy \right) dx
$$

ou, alternativamente,

$$
\iint_R f(x, y) \, dA = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y) \, dx \right) dy
$$

Portanto, a expressão correta que representa a aplicação do Teorema de Fubini para a integral dupla de $ f(x, y) $ sobre o retângulo $ R $ é uma dessas duas formas. Se você tiver as opções, posso ajudar a identificar qual delas é a correta!

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