Vamos resolver a equação diferencial usando a transformada de Laplace passo a passo. Equação: y'' − 2y' + 5y = 0 Condições iniciais: y(0) = 0, y'(0) = 1 1. Aplicar a transformada de Laplace na equação: L{y''} − 2L{y'} + 5L{y} = 0 Sabemos que: L{y''} = s²Y(s) − s y(0) − y'(0) = s²Y(s) − 0 − 1 = s²Y(s) − 1 L{y'} = sY(s) − y(0) = sY(s) − 0 = sY(s) L{y} = Y(s) Substituindo: (s²Y(s) − 1) − 2(sY(s)) + 5Y(s) = 0 s²Y(s) − 1 − 2sY(s) + 5Y(s) = 0 Y(s)(s² − 2s + 5) = 1 Y(s) = 1 / (s² − 2s + 5) 2. Completar o quadrado no denominador: s² − 2s + 5 = (s − 1)² + 4 Então: Y(s) = 1 / [(s − 1)² + 2²] 3. Usar a transformada inversa de Laplace: Sabemos que: L{e^{at} sin(bt)} = b / [(s − a)² + b²] Comparando: Y(s) = 1 / [(s − 1)² + 2²] = (1/2) * [2 / ((s − 1)² + 2²)] Logo, a transformada inversa é: y(t) = (1/2) e^{t} sin(2t) 4. Verificar as opções: a) 12.sen(5.t) b) t².(e^{t}).sen(2.t) c) 52.(e^{3t}).sen(2.t) d) 17.(e^{t}).sen(4.t) e) 12.(e^{t}).sen(2.t) A resposta correta, considerando o fator 1/2, é a alternativa e) 12.(e^{t}).sen(2.t), que representa (1/2) e^{t} sen(2t). Resposta correta: e) 12.(et).sen(2.t)