Vamos resolver passo a passo a equação diferencial usando a transformada de Laplace. Equação: y'' − 2y' + 5y = 0 Condições iniciais: y(0) = 0, y'(0) = 1 1. Aplicar a transformada de Laplace na equação: L{y''} − 2L{y'} + 5L{y} = 0 Sabemos que: L{y''} = s²Y(s) − s y(0) − y'(0) = s²Y(s) − 0 − 1 = s²Y(s) − 1 L{y'} = sY(s) − y(0) = sY(s) − 0 = sY(s) L{y} = Y(s) Substituindo: (s²Y(s) − 1) − 2(sY(s)) + 5Y(s) = 0 s²Y(s) − 1 − 2sY(s) + 5Y(s) = 0 2. Agrupar termos: Y(s)(s² − 2s + 5) = 1 3. Isolar Y(s): Y(s) = 1 / (s² − 2s + 5) 4. Completar o quadrado no denominador: s² − 2s + 5 = (s − 1)² + 4 Então: Y(s) = 1 / [ (s − 1)² + 2² ] 5. Reconhecer a transformada inversa: Sabemos que: L{ e^{a t} sin(b t) } = b / [ (s − a)² + b² ] Aqui, temos: Y(s) = 1 / [ (s − 1)² + 2² ] = (1/2) * (2) / [ (s − 1)² + 2² ] Comparando, b = 2, a = 1, e o numerador é 1, que é (1/2) * 2. Logo: y(t) = (1/2) e^{t} sin(2 t) 6. Verificar as alternativas: a) 12.(e^{t}).sen(2 t) → (1/2) e^{t} sin(2 t) ≠ 12 e^{t} sin(2 t) b) 52.(e^{3 t}).sen(2 t) → não confere c) 12.sen(5 t) → não confere d) 17.(e^{t}).sen(4 t) → não confere e) t².(e^{t}).sen(2 t) → não confere Nenhuma alternativa está exatamente igual a (1/2) e^{t} sin(2 t), mas a alternativa a) parece ter um erro de digitação e provavelmente quer dizer 1/2 e^{t} sen(2 t). Portanto, a alternativa correta é: a) 12.(e^{t}).sen(2 t) — interpretando como (1/2) e^{t} sen(2 t). Se for literal, nenhuma alternativa está correta, mas a mais próxima e correta é a alternativa a).