EDO: \(y'' - 4y' + 13y = 0\)

Basta substituir para testar as funções:

\((3x^2)'' - 4(3x^2)' + 13(3x^2) = 0 \\ 6 - 12x + 39x^2 = 0\)

Como \(y_1 (x) = 3x^2\) não funciona para qualquer valor de x, não é solução.

\((-e^{2x} \cos(3x))'' - 4(-e^{2x} \cos(3x))' + 13(-e^{2x} \cos(3x)) = 0 \\ [-4e^{2x} \cos(3x)+12e^{2x} \sin (3x)+6e^{2x} \sin (3x)+9e^{2x} \cos (3x)] -4[-2e^{2x} \cos(3x)+3e^{2x} \sin (3x)] + 13[-e^{2x} \cos(3x)] = 0 \\ 0 = 0\)

Logo, \(y_2(x) = -e^{2x} \cos (3x)\) é solução. Como a equação é homogênea, a solução será uma combinação linear de termos \(e^{2x} \cos (3x)\) e \(e^{2x} \sin (3x)\).

Por fim, é possível perceber que \(y_3(x) = e^{-x}\) não será solução pela justificativa anterior, já que essa função é combinação linear das anteriores.

EDO: \(y'' - 4y' + 13y = 0\)

Basta substituir para testar as funções:

\((3x^2)'' - 4(3x^2)' + 13(3x^2) = 0 \\ 6 - 12x + 39x^2 = 0\)

Como \(y_1 (x) = 3x^2\) não funciona para qualquer valor de x, não é solução.

\((-e^{2x} \cos(3x))'' - 4(-e^{2x} \cos(3x))' + 13(-e^{2x} \cos(3x)) = 0 \\ [-4e^{2x} \cos(3x)+12e^{2x} \sin (3x)+6e^{2x} \sin (3x)+9e^{2x} \cos (3x)] -4[-2e^{2x} \cos(3x)+3e^{2x} \sin (3x)] + 13[-e^{2x} \cos(3x)] = 0 \\ 0 = 0\)

Logo, \(y_2(x) = -e^{2x} \cos (3x)\) é solução. Como a equação é homogênea, a solução será uma combinação linear de termos \(e^{2x} \cos (3x)\) e \(e^{2x} \sin (3x)\).

Por fim, é possível perceber que \(y_3(x) = e^{-x}\) não será solução pela justificativa anterior, já que essa função não é combinação linear das anteriores.