Sendo f(x) = sen x, dê a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x =π/6

Neste exercício, será determinada a equação da reta tangente à função \(f(x) = \sin x\) no ponto de abscissa \(x={\pi \over 6}\). Portanto, o ponto da ordenada correspondente é:

\(\Longrightarrow f(x) = \sin { \pi \over 6}\)

\(\Longrightarrow f(x) = {1 \over 2}\)

Portanto, o ponto \(P\) por onde passa a reta tangente é:

\(\Longrightarrow P=({\pi \over 6}, {1 \over 2})\)

O coeficiente angular dessa reta em um ponto qualquer é determinada pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow {d f(x) \over dx} = {d \over dx}(\sin x)\)

\(\Longrightarrow {d f(x) \over dx} = \cos x\)

Substituindo \(x={\pi \over 6}\) na equação anterior, a inclinação da reta tangente correspondente é:

\(\Longrightarrow {d f(x) \over dx} = \cos { \pi \over 6}\)

\(\Longrightarrow {d f(x) \over dx} = { \sqrt{3} \over 2}\)

Portanto, a equação da reta tangente fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow y_{tan} = {d f(x) \over dx}x + b\)

\(\Longrightarrow y_{tan} = { \sqrt{3} \over 2}x + b\)

Substituindo o ponto \(P=({\pi \over 6}, {1 \over 2})\) na equação anterior, o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow {1 \over 2} = { \sqrt{3} \over 2}{\pi \over 6} + b\)

\(\Longrightarrow b={1 \over 2} -{ \sqrt{3} \over 2}{\pi \over 6} \)

\(\Longrightarrow b = { 6 - \sqrt {3} \pi \over 12}\)

Concluindo, a reta tangente à função \(f(x) = \sin x\) no ponto de abscissa \(x={\pi \over 6}\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y_{tan} = { \sqrt{3} \over 2}x + { 6 - \sqrt {3} \pi \over 12} $}\)