num cubo são conhecidos 4 de seus vértices: p1 = (2, 2, 0), p2 = (2, 4, 0), p3 = (0, 4, 0) e p4 = (2, 2, 2)

A reta r esta descrita na forma simétrica:

r: (x-x1)/a = (y-y1)/b = (z-z1)/c

Para que um ponto B de coordenadas B =(x, y, z) pertença a reta a igualdade acima deve ser atendida.

Onde um ponto  A, que pertence a reta r, de coordenadadas  A = (x1, y1, z1) e um vetor v com a mesma direção de r, de coordenadas v= aî + bĵ + ck.

Na questão acima r esta em um plano paralelo ao yOz, pois o vetor v não possui a componente no eixo das abscissas.

v = 0î + 2ĵ  -1k

O ponto A = ( 1, 2, 2)

Para este caso em especifico, escrevendo a equação paramétrica da reta r:

x = 1 + 0t

y = 2+ 2t

z = 2 - 1t

A equação simetrica tem origem na paramétrica em que t é colocado em evidência:

t = (y-2)/2

t = (z-2)/-1

Igualando:

(y-2)/2 = (z-2)/-1

Reescrendo:

y + 2z = 6 ou,

z = (6 - y)/2 ou ainda,

y = 6 - 2z

Portanto para um ponto P pertencer a reta r o mesmo deve possuir as coordenadas:

P = ( 1, 6 -2z, z)

Que é o caso do ponto A:

A = ( 1, 2, (6-2)/2)

(Desenhe o cubo)

O ponto A pertence a face mais próxima da origem e paralela ao plano xOz. Como o vetor diretor de r é descendete, plano yOz, r também é descendente. Existem duas opções:

r interceptar a face inferior (base do cubo) onde z=0

r interceptar a 2ª face lateral( paralela a xOz), onde y=4

Isto ocorre pois r está no plano paralelo ao yOz e o cubo tem suas faces paralelas aos planos formados entre as bases normais.

Testando a 1ª opção z=0:

Para que um ponto pertença a reta r:

y = 6- 2z;

y = 6;

Logo em z=0 o a reta já "furou" o cubo, pois o valor máximo no eixo y do cubo é 4, ymáx = 4;

Testando a 2ª opção, y =4 ,

Para que um ponto pertença a reta r:

z = (6 - y)/2

z= 1

Logo, o ponto de saída do furo no cubo é B = ( 1, 4, 1). O ponto de entrada do furo é

A = (1,2,2).

Resp: Entrada do furo A= (1, 2, 2) ----- Saída do furo B = (1,4,1);

Para encontrarmos o ponto onde a reta fura o cubo, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & v=0i+2j-k \\ & \\ & x=1+0 \\ & y=2+2t \\ & z=2-t \\ & \\ & t=\frac{y-2}{2} \\ & t=\frac{z-2}{-1} \\ & \\ & y+2z=6 \\ & y6-2z \\ & P=(1,6-2z,z) \\ & A=(1,2,2) \\ & \\ & z=\frac{6-y}{2} \\ & z=1 \\ & \\ & A=(1,2,2) \\ & B=(1,4,1) \\ \end{align}\ \)

Portanto, os pontos serão \(\boxed{A\left( {1,2,2} \right){\text{ e }}B\left( {1,4,1} \right)}\).