25. En R3 se consideran la recta ℓ1 que pasa por P1 = (0, 3, 1) con dirección ~v1 = (1, 4, 2) y la recta ℓ2 que pasa por P2 = (−4, 3,−2) con direc...

Para encontrar as equações implícitas da reta ℓ com direção ~v = (3, 2, 1) que corta as retas ℓ1 e ℓ2, podemos usar o produto vetorial. Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor ~u da reta ℓ, que é o produto vetorial entre ~v1 e ~v2: ~u = ~v1 x ~v2 Calculando o produto vetorial: ~u = (1, 4, 2) x (6, 1, 2) ~u = (8, 10, -23) Agora, podemos usar o ponto P1 = (0, 3, 1) e o vetor diretor ~u = (8, 10, -23) para encontrar as equações implícitas da reta ℓ. Vamos chamar as coordenadas do ponto na reta ℓ de (x, y, z). As equações implícitas da reta ℓ são: (x - 0) / 8 = (y - 3) / 10 = (z - 1) / (-23) Agora, para encontrar os pontos Q1 e Q2 onde a reta ℓ corta ℓ1 e ℓ2, respectivamente, podemos substituir as equações paramétricas das retas ℓ1 e ℓ2 nas equações implícitas da reta ℓ e resolver o sistema de equações resultante. Para ℓ1, temos P1 = (0, 3, 1) e ~v1 = (1, 4, 2). Substituindo na equação implícita da reta ℓ: (x - 0) / 8 = (y - 3) / 10 = (z - 1) / (-23) = t Podemos resolver o sistema de equações para encontrar o valor de t e, em seguida, substituí-lo nas equações paramétricas de ℓ1 para encontrar o ponto Q1. Para ℓ2, temos P2 = (-4, 3, -2) e ~v2 = (6, 1, 2). Substituindo na equação implícita da reta ℓ: (x - 0) / 8 = (y - 3) / 10 = (z - 1) / (-23) = t Da mesma forma, podemos resolver o sistema de equações para encontrar o valor de t e, em seguida, substituí-lo nas equações paramétricas de ℓ2 para encontrar o ponto Q2. Lembrando que as equações paramétricas de uma reta são dadas por: x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct Onde (x0, y0, z0) é um ponto na reta e (a, b, c) é o vetor diretor da reta.