Lista1

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UFF - Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA)
1a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral IV - 2011-1
Nos exerc´ıcios de 1 a 29 , desenhe a curva C e a rep-
resente por uma func¸a˜o com valores vetoriais:
1. C e´ o segmento de (1,2) a (−2, 8).
2. C e´ a parte da para´bola y = 3x2 de (−1, 3) a (2,12).
3. C e´ o gra´fico de y = x3 + 1 de (−1, 0) a (1,2).
4. C e´ o gra´fico de y2 = x de (4,−2) a (4,2).
5. C e´ o gra´fico de y3 = x de (0,0) a (1,1).
6. C e´ a elipse 3x2 + 8y2 = 24.
7. C e´ o gra´fico de x
2
3 + y
2
3 = 1.
8. C e´ o gra´fico de y = 1− |1− x| de (0,0) a (2,0).
9. C e´ o arco da circunfereˆncia x2+y2 = 9 no primeiro
quadrante.
10. C e´ a curva y = 1− x2, y ≥ 0.
11. C e´ a curva y2 = 2(x+ 2), −2 ≤ x ≤ 2 .
12. C e´ o arco da circunfereˆncia x2 + y2 = 4, x ≥ 0,
situado entre as retas y = −√2 e y = √3.
13. C e´ a curva dada por 2x2+2y2− 6x+4y− 16 = 0.
14. C e´ a curva dada por 16x2+9y2+64x−18y−71 = 0.
15. C e´ a curva dada por 9x2−4y2−54x−16y+29 = 0,
x ≥ 5.
16. C e´ o segmento de reta que liga os pontos (0,0,1) a
(0,1,0).
17. C e´ o segmento de reta que liga os pontos (0,1,1) a
(0,0,3).
18. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dada por z = 12 (x
2+
y2) e z = 1.
19. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dadas por x
2
3+y
2
3 =
a
2
3 , a > 0 e z = 2
20. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dadas por x2+y2+
z2 = a2 e y + z = a, a > 0
21. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dadas por x2+y2 =
1 e z − y = 2
22. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dadas por x2+y2 =
z e x2 + (y − 1)2 = 1
23. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dadas por 16−x2−
y2 = z2, z ≥ 0 e y + x = 0
24. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dadas por x2+y2 =
2y e z = 2
25. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dadas por x2+y2+
z2 = 1 e z =
√
x2 + y2
26. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dadas por x2+y2 =
4 e x2 + z2 = 4, situada no primeiro octante
27. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dadas por z = 1−
x2, z ≥ 0 e x = y
28. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dadas por z = 5−y2,
z ≥ 1 e x+ z = 5
29. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dadas por x2+y2+
z2 = 2(x+ y) e x+ y = 2
30. Prove que a aplicac¸a˜o
γ(t) =
(
1 + cos t, sen t, 2 sen
t
2
)
, t ∈ [0, 2pi]
e´ um caminho cuja trajeto´ria esta´ contida na in-
tersec¸a˜o do cilindro C = {(x, y, z) ∈ R3; (x −
1)2 + y2 = 1, z ≥ 0} e da esfera S = {(x, y, z) ∈
R3;x2 + y2 + z2 = 4}.
31. Obtenha uma parametrizac¸a˜o para:
(a) a reta por (4, 2,−3) paralela ao vetor ~u =(
1
3
, 2,
1
2
)
;
(b) o segmento de (1, 1, 1) a (1, 2, 4).
32. Obtenha uma parametrizac¸a˜o para a curva C em
R3, intersec¸a˜o das superf´ıcies:
(a) x2 + y2 + z2 = 4 e y = 1;
(b) x2 + y2 = z2, z ≥ 0 e x = y2 do ponto (0, 0, 0)
a (1, 1,
√
2);
(c) x2 + y2 = 1 e x+ y + z = 1;
(d) z = 1− y2, z ≥ 0 e 2x+ 3z = 6, de (3, 1, 0) a
(3,−1, 0);
(e) 4x2 + 9y2 = 36 e x+ z = 1;
(f) x2 + y2 + z2 = 25 e x+ y = 1;
(g) x2 + y2 = 1 e z ≥ 0 e z2 = x2 + (y − 1)2;
1
Lista 1 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 2
(h) x2 + y2 = 2y e y = z;
(i) z = 3x2 + y2 e z + 6x = 9;
(j) (x− 1)2 + y2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0.
33. Considere um c´ırculo de raio a rolando sobre o eixo
ox sem deslizamento. Um ponto deste c´ırculo des-
creve uma ciclo´ide. Supondo que para o tempo t =
0 o ponto do c´ırculo coincide com a origem do sis-
tema de coordenadas, obtenha uma parametrizac¸a˜o
diferencia´vel para a ciclo´ide.
34. Deˆ uma parametrizac¸a˜o da reta tangente a` curva
γ(t) =
(
2t2 + 1, t− 1, 3t3) em t0 ∈ R,onde γ(t0) e´ o
ponto de intersec¸a˜o da trajeto´ria do caminho com
o plano xz.
35. Seja γ : I → R3 um caminho regular. Prove que
‖γ′(t)‖ e´ constante, se e so´ se, ∀t ∈ I, γ′′(t) e´ orto-
gonal a γ′(t).
36. Considere o caminho regular γ(t) = (2t, t2, ln t), t ∈
(0,∞). Verifique que os pontos (2,1,0) e (4, 4, ln 2)
pertencem a` trajeto´ria de γ e calcule o comprimento
de arco de γ entre estes pontos.
37. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva in-
tersec¸a˜o de x2 + y2 + z2 = a2 e x2 + y2 − ay = 0
por
(
a
2
,
a
2
,
a√
2
)
.
38. Uma part´ıcula move-se no plano xy de modo que a
derivada do vetor posic¸a˜o e´ sempre perpendicular a
este vetor. Mostre que a part´ıcula se desloca sobre
um c´ırculo com centro na origem.
39. O vetor posic¸a˜o de um ponto e´ dado por ~r(t) =
(et cos t, et sen t), t ∈ R. Mostre que:
(a) ~a = 2~v− 2~r
(b) o aˆngulo entre o vetor posic¸a˜o ~r e o vetor acele-
rac¸a˜o ~a e´ constante; estime esse aˆngulo.
40. A trajeto´ria de uma part´ıcula e´ dada por ~r(t) =
(cos t, sen t, t). Em t = pi ela abandona a trajeto´ria
e passa a caminhar na direc¸a˜o da tangente. Ache
sua posic¸a˜o em t = 2pi.
41. Seja γ : I → R3 diferencia´vel ate´ a segunda ordem
em I. Suponha que existe λ ∈ R, tal que ∀t ∈ I,
γ′′(t) = λγ(t). Prove que γ(t)× γ′(t) e´ constante.
42. Suponha ~r : R → R3 de classe C2 e ‖~r(t)‖ = √t,
∀t ≥ 0. Prove que d~r
dt
· d~r
dt
= −~r · d
2~r
dt2
em [0,∞].
43. Se γ e´ um caminho em R3, tal que γ′′(t) = ~0 ∀t,
prove que a trajeto´ria e´ uma reta ou um ponto.
44. Dispara-se um proje´til com velocidade inicial v0 e
um aˆngulo de elevac¸a˜o α. Desprezando-se a resis-
teˆncia do ar, determine:
(a) O vetor posic¸a˜o no instante t;
(b) O tempo de voˆo;
(c) O alcance;
(d) A altura ma´xima;
(e) A velocidade no impacto;
(f) O aˆngulo de lanc¸amento para o alcance
ma´ximo.
45. Seja ~n o campo de vetores unita´rios normais
a` esfera x2 + y2 + z2 = 9 e ~u(x, y, z) =(
x2 − z2) (~ı− ~+ 3~k). Calcule ∂
∂~n
(div ~u) em
(2, 2, 1).
46. Se f e´ diferencia´vel, prove que f(r)~r e´ irrotacional,
onde ~r = (x, y, z) e r = ‖~r ‖.
47. Seja ~v = grad g, onde g(x, y, z) = f(r), r =(
x2 + y2 + z2
) 1
2 , sendo f de classe C2. Mostre que
div~v = f ′′(r) +
2f ′(r)
r
.
48. Determine a mais geral func¸a˜o ϕ(r) tal que
divϕ(r)~r = 5r2, onde ~r = (x, y, z), r = ‖~r ‖ 6= 0.
49. Mostre que rα~r e´ irrotacional para qualquer α e
solenoidal so´ para α = −3, onde ~r = (x, y, z), r =
‖~r ‖ 6= 0.
50. Determine ϕ(r), tal que ∇2ϕ(r) = 0, onde ~r =
(x, y, z), r = ‖~r ‖ 6= 0.
51. Seja ~r = (x, y), r = ‖~r ‖ 6= 0. Encontre ϕ(r) de
modo que ~∇ · (ϕ(r)~r ) = r, sabendo que ϕ(1) = 43 .
52. Parametrize a curva C que e´ intersec¸a˜o:
(a) do semi-elipso´ide
x2
12
+
y2
24
+
z2
4
= 1, z ≥ 0
com o cilindro parabo´lico y = x2
(b) da semi-esfera x2+ y2+ z2 = 2y, z ≥ 0, com o
plano z − y + 1 = 0.
53. Um fio tem a forma da curva obtida como intersec¸a˜o
do parabolo´ide z = x2+ 12y
2 com o plano x+z = 2:
(a) Esboce o fio e apresente uma parametrizac¸a˜o
para C.
(b) Ache o comprimento do fio.
54. Suponha ~r : R → R3 de classe C1 e ‖~r(t)‖ =
et,∀t ∈ R. Mostre que~r(t)·d~r
dt
(t) = ‖~r(t)‖2,∀t ∈ R.
55. Considere o campo ~F(r) = g2(r)
~r
r
, onde ~r =
(x, y), r = ‖~r ‖ 6= 0, g(r) 6= 0, g(1) = 1 e g diferen-
cia´vel. Determine g(r) de modo que o campo seja
solenoidal.
Lista 1 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 3
56. Ache ϕ(r) tal que div[r2ϕ(r)~r ] = 5r2ϕ(r), sendo
~r = (x, y, z), r = ‖~r ‖ 6= 0.
57. Calcule:
(a)
∫
C
(x2 + y2)ds, onde ~σ(t) = (t, t), −1 ≤ t ≤ 1;
(b)
∫
C
(2xy + y2)ds, onde ~σ(t) = (t+ 1, t− 1),
0 ≤ t ≤ 1;
(c)
∫
C
xyz ds, onde ~σ(t) = (cos t, sen t, t),
0 ≤ t ≤ 2pi;
(d)
∫
C
(x+ 4
√
y)ds, onde C e´ o triaˆngulo de
ve´rtices (0,0), (1,0) e (0,1).
58. Calcule a massa do fio ~σ(t) = (t, 2t, 3t), 0 ≤ t ≤ 1,
cuja densidade linear e´ δ(x, y, z) = x+ y + z.
59. Calcule a massa do fio ~σ(t) = (cos t, sen t, t),
0 ≤ t ≤ pi, cuja densidade linear e´ δ(x, y, z) = x2 +
y2 + z2.
60. Um arame tem a forma da curva obtida como in-
tersec¸a˜o da porc¸a˜o da esfera x2+y2+z2 = 4, y ≥ 0
com o plano x+z = 2. Sabendo-se que a densidade
em cada ponto do arame e´ dadapor f(x, y, z) = xy,
calcule a massa total do arame.
61. Encontre a a´rea da superf´ıcie lateral sobre a curva
C : y = 1−x2, de (1,0) a (0,1) e abaixo da superf´ıcie
z = f(x, y) = xy.
62. Calcule o momento de ine´rcia de um fio homogeˆneo
com a forma de uma circunfereˆncia de raio R, em
torno de um diaˆmetro.
63. Calcule o momento de ine´rcia do fio
~σ(t) = (t, 2t, 3t), 0 ≤ t ≤ 1, cuja densidade linear e´
δ(x, y, z) = x+ y + z, em torno do eixo oz.
64. Calcule o momento de ine´rcia de um fio retil´ıneo,
homogeˆneo, de comprimento L, em torno de um
eixo perpendicular ao fio e passando por uma das
extremidades do fio.
65. Calcule o momento de ine´rcia de um fio homogeˆneo
~σ(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ pi
2
, em torno do eixo
ox.
66. O centro de massa de um fio
~σ : [a, b] → R3 e´ o ponto (x¯, y¯, z¯) dado por
x =
∫
C
x dm∫
C
dm
, y =
∫
C
y dm∫
C
dm
, z =
∫
C
z dm∫
C
dm
, onde
dm = δ(x, y, z)ds e´ o elemento de massa. Calcule
o centro de massa do fio homogeˆneo dado por
~σ(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ pi
2
67. Calcule o centro de massa do fio
~σ(t) = (t, t, t), 0 ≤ t ≤ 1, com densidade linear
δ(x, y, z) = xyz.
68. A forma de um fio delgado num plano coordenado
coincide com a parte da para´bola y = 4− x2 entre
(−2, 0) e (2,0). Determine a massa e o centro de
massa se a densidade no ponto (x, y) e´ diretamente
proporcional a` sua distaˆncia do eixo oy.
69. Calcule
∫
C
xy ds, onde C e´ o quadrado |x|+|y| = 1.
70. Calcule
∫
C
xy ds, onde C e´ o arco da elipse
b2x2 + a2y2 = a2b2, com x ≥ 0, y ≥ 0.
71. Calcule
∫
C
x ds, onde C e´ o arco ~σ(t) = t(~ı +
( sen t)~+ (cos t)~k), 0 ≤ t ≤ a.
72. A base de uma cerca e´ uma curva C no plano xy
definida por: x(t) = 30 cos3 t, y(t) = 30 sen3 t,
0 ≤ t ≤ 2pi, e a altura em cada ponto (x, y) ∈ C
e´ dada por f(x, y) = 1 +
|y|
3
(x e y em metros).
Se para pintar cada m2 um pintor cobra p reais,
quanto o pintor cobrara´ para pintar toda a cerca?
73. Deseja-se construir uma pec¸a de zinco que tem a
forma da superf´ıcie do cilindro
x2 + y2 = 4, compreendida entre os planos z = 0 e
x+y+z = 2, z ≥ 0. Se o metro quadrado do zinco
custa M reais, calcule o prec¸o total da pec¸a.
74. Um pedac¸o de arame tem a forma da curva C in-
tersec¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = 2(x+ y)− 1 com
o plano y + z = 2. Calcule a massa do arame se a
densidade e´ dada por δ(x, y, z) = x2.
75. Seja C um fio delgado com a forma da intersec¸a˜o
da superf´ıcie x2 + y2 + z2 = 5, z ≥ 0 com o plano
x+ y = 1:
(a) Deˆ uma parametrizac¸a˜o para C. Esboce-a;
(b) Calcule o comprimento do fio;
(c) Apresente uma equac¸a˜o da reta tangente a`
curva C no ponto
(
1
2
,
1
2
,
3√
2
)
;
(d) Se a densidade em cada ponto e´ proporcional a`
sua distaˆncia ao plano xy, calcule o momento
de ine´rcia de C em relac¸a˜o ao eixo z.
76. Considere um arame semicircular de raio a
(a) Mostre que o centro´ide esta´ sobre o eixo de
simetria a uma distaˆncia
2a
pi
do centro;
(b) Mostre que o momento de ine´rcia sobre o
diaˆmetro e´
1
2
Ma2, onde M e´ a massa do
arame.
77. Seja um arame na forma do c´ırculo
x2 + y2 = a2. Calcule sua massa e o momento
de ine´rcia em relac¸a˜o ao diaˆmetro se a densidade e´
dada por ρ(x, y) = |x|+ |y|.
Lista 1 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 4
Respostas
1. γ(t) = (1− 3t, 2 + 6t), 0 ≤ t ≤ 1.
2. γ(t) = (t, 3t2), −1 ≤ t ≤ 2.
3. γ(t) = (t, t3 + 1), −1 ≤ t ≤ 1.
4. γ(t) = (t2, t), −2 ≤ t ≤ 2.
5. γ(t) = (t3, t), 0 ≤ t ≤ 1.
6. γ(t) = (
√
8 cos t,
√
3 sen t), t ∈ [0, 2pi].
7. γ(t) = (cos3 t, sen3 t), t ∈ [0, 2pi].
8. γ1(t) = (t, t), 0 ≤ t ≤ 1 e
γ2(t) = (t, 2− t), 1 ≤ t ≤ 2.
9. γ(t) = (3 cos t, 3 sen t), t ∈ [0, pi2 ].
10. γ(t) = (t, 1− t2), −1 ≤ t ≤ 1.
11. γ(t) =
(
1
2 t
2 − 2, t), −2√2 ≤ t ≤ 2√2.
12. γ(t) = (2 cos t, 2 sen t), t ∈ [−pi4 , pi3 ].
13. γ(t) =
(
3
2 +
3
√
5
2 cos t,−1 + 3
√
5
2 sen t
)
, t ∈ [0, 2pi].
14. γ(t) = (−2 + 3 cos t, 1 + 4 sen t), t ∈ [0, 2pi].
15. γ(t) = (3 + 2 cosh t,−2 + 3 senh t), t ∈ R.
16. γ(t) = (0, t, 1− t), 0 ≤ t ≤ 1.
17. γ(t) = (0, 1− t, 1 + 2t), 0 ≤ t ≤ 1.
18. γ(t) = (
√
2 cos t,
√
2 sen t, 1), t ∈ [0, 2pi].
19. γ(t) = (a cos3 t, a sen3 t, 2), t ∈ [0, 2pi].
20. γ(t) =
(
a√
2
cos t, a2 +
a
2 sen t,
a
2 − a2 sen t
)
, t ∈
[0, 2pi].
21. γ(t) = (cos t, sen t, 2 + sen t), t ∈ [0, 2pi].
22. γ(t) = (cos t, 1 + sent, 2 + 2 sen t), t ∈ [0, 2pi].
23. γ(t) = (2
√
2 cos t,−2√2 cos t, 4 sen t), t ∈ [0, pi].
24. γ(t) = (cos t, 1 + sen t, 2), t ∈ [0, 2pi].
25. γ(t) =
(√
2
2 cos t,
√
2
2 sen t,
√
2
2
)
, t ∈ [0, 2pi].
26. γ(t) = (2 cos t, 2 sen t, 2 sen t), t ∈ [0, pi2 ].
27. γ(t) = (t, t, 1− t2), −1 ≤ t ≤ 1.
28. γ(t) = (t2, t, 5− t2), −2 ≤ t ≤ 2.
29. γ(t) = (1 + cos t, 1− cos t,√2 sen t), t ∈ [0, 2pi].
31. (a) γ(t) =
(
4 + t3 , 2 + 2t,−3 + t2
)
, t ∈ R;
(b) γ(t) = (1, 1 + t, 1 + 3t), 0 ≤ t ≤ 1.
32. (a) γ(t) = (
√
3 cos t, 1,
√
3 sen t), t ∈ [0, 2pi];
(b) γ(t) = (t2, t, t
√
1 + t2), 0 ≤ t ≤ 1;
(c) γ(t) = (cos t, sen t, 1−cos t− sen t), t ∈ [0, 2pi];
(d) γ(t) =
(
3 + 3t2
2
,−t, 1− t2
)
, −1 ≤ t ≤ 1;
(e) γ(t) = (3 cos t, 2 sen t, 1− 3 cos t), t ∈ [0, 2pi];
(f) γ(t) =
(
1
2 +
7
2 cos t,
1
2 − 72 cos t, 7
√
2
2 sen t
)
, t ∈
[0, 2pi];
(g) γ(t) = (cos t, sen t,
√
2− 2 sen t), t ∈ [0, 2pi];
(h) γ(t) = (cos t, 1 + sen t, 1 + sen t), t ∈ [0, 2pi];
(i) γ(t) = (−1 + 2 cos t,√12 sen t, 15 − 12 cos t),
t ∈ [0, 2pi];
(j) γ(t) =
(
1 + cos t, sen t, 2 sen
t
2
)
, t ∈ [0, 2pi].
33. γ(t) = (at− a sen t, a− a cos t), t ∈ R.
34.
x− 3
4
= y =
z − 3
9
.
36. 3 + ln 2.
37. x =
a
2
, y − a
2
=
2
(
z −
√
2a
2
)
−√2 .
39. (b)
pi
2
.
40. (−1,−pi, 2pi).
44. (a) ~r(t) =
(
v0t cosα, v0t senα− 12gt2
)
;
(b) t =
2v0 senα
g
;
(c)
v20 sen 2α
g
;
(d)
v20 sen
2α
2g
;
(e) ~vf = (v0 cosα,−v0 senα), vf = ‖~vf‖ = v0;
(f)
pi
4
.
45. −2
3
48. ϕ(r) = r2 +
c
r3
, c constante.
50. ϕ(r) =
c1
r
+ c2, onde c1 e c2 sa˜o constantes.
51. ϕ(r) =
r
3
+
1
r2
.
52. (a) γ(t)=
(
t, t2,
√
24− 2t2 − t4
6
)
, −2 ≤ t ≤ 2;
(b) γ(t) =
(
cos t, 1 +
√
2
2 sen t,
√
2
2 sen t
)
, 0 ≤ t ≤
pi.
53. (a) γ(t) =
(
− 12 + 32 cos t, 3√2 sen t, 52 − 32 cos t
)
,
0 ≤ t ≤ 2pi;
Lista 1 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 5
(b) 3
√
2pi.
55.
1√
r
.
56. ϕ(r) = c, c e´ constante.
57. (a)
4
√
2
3
(b) −√2 (c) −pi
√
2
2
(d)
19
6
(1 +
√
2)
58. 3
√
14
59. pi
√
2
(
1 +
pi2
3
)
60. 4
61.
1
120
(25
√
5− 11)
62.
MR2
2
, M = massa
63.
15
√
14
2
64.
ML2
3
, M = massa
65.
√
2
(
pi3
24
+
pi
4
)
δ, δ = densidade constante
66.
(
2
pi
,
2
pi
,
pi
4
)
67.
(
4
5
,
4
5
,
4
5
)
68. M =
k(173/2 − 1)
6
, x = 0, y =
175/2 − 41
10(173/2 − 1)
69. 0
70.
ab(a2 + ab+ b2)
3(a+ b)
71.
√
(2 + a2)3 − 2√2
3
72. 900p reais 73. (8 + 6pi)M 74.
5
√
2pi
4
75. (a) ~γ(t) =
(
1
2
+
3
2
cos t,
1
2
− 3
2
cos t,
3√
2
sen t
)
,
0 ≤ t ≤ pi;
(b)
3
√
2
2
;
(c) x =
1
2
− 3
2
t, y =
1
2
+
3
2
t, z =
3√
2
, t ∈ R
(d) 18k;
77. M = 8a2, Iy = 4a4