Atividade prática de C N

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ATIVIDADE PRÁTICA
SALVADOR
2021
UNIVERSIDADE SALVADOR – UNIFACS
Atividade Prática 
Trabalho realizado por Wesley Rangel Brito dos Santos, como atividade pratica da Disciplina de Cálculo Númerico Computacional, da Universidade Salvador – UNIFACS.
Orientadora: Stephanie Pumarino Canete
Salvador 2021
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 
 ƒ(x) = x^3 – 2x^2 – 20x + 30
Considerando h(x) =x^3 e g(X) = 2^2+20x-30 temos que ƒ(x) =g(x)-h(x). Pelo metodo gráfico, vamos analisar as raízes e gráficos de h(x) e g(x). 
Analisando a função g(x) = x^3 temos que g (x) = 0 se e somente se x^3 = 0, portanto se, isto implicate que a nice rail é o zero. Alum disso o seu gráfico é dado por:
A função h(x) = 2^2 + 20x – 30, representa uma função de segundo grau, cuja concavidade é voltada para ciam, pois α=2. Analisando as ruas raízes temos:
H(x)=0 se somente se 2x^2+20x-30=0, dividindo ambos os termos por 2, temos que é equivalente a x^2+10x-15=0, portanto temos:
▲=10^2-4.1 (-15)=160 
(-10±√ 160)/2)
Portanto as raízes serão aproximadamente 1,324 e -11,324. Um esboço de gráficos será dado por uma parábola com concavidade para cima, e cortando o eixo de y em -30. Portanto teremos os:
Não sabemos exatamente quem são as raízes, mas sabemos que elas estão entre -10 e +1 0. 
Analisando a função neste intervêm alo temos:
Analisando a tabela, temos que a função h (x) começa sendo a maior, entre -5 e -4 a função g (x) passa a ser maior, entre 1 e 2 função h (x) passar a ser maior entre 4 e 5 a função g (x) passa a ser maior. Como as raízes é onde ambas as funções são iguais, temos três raízes de f (x) estão nos intervalos (-5,-4) (1,2) e (4,5), portanto uma negativa e duas positivas.
2.Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra (https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para g (x) e h (x).
Representando as funções g (x) e h (x) GeoGebra e em seguida marcando os pontos de intersecções e entre das duas funções encontramos os pontos D, E, F que correspondem exatamente ao que encontramos em 1. Temos pontos de intercção (e portanto as raízes de f (x)) nos intervalos (-5,-4), (1, 2) e (4, 5), lgo um negativa eduas positivas.
Isto também pode ser verificado, representando a função f(x) no GeoGebra e marcando as suas raízes por A, B e C:
3 No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (x4) aproximação da raiz positiva da ƒ(x)= x^2-10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [a,b] (a e b naturais) de comprimento 1, isto é, b-a=1.
Portanto os valores obtidos foram:
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (x29) aproximação da raiz. Calculando o valor (x29) com o uso da função se do excel, obtemos.
5. Calcule √10 com uma calculando científica e compare o valor encontrado com x29.
Calculando √10 na calculador a obtemos: 3 .16227766 017
Comparando o valor com o valor obdo no excel temos que ambos representam a mesmo quantidade, portanto temos um excelente aproximação para a raiz de f(x). No, excel está apenas representado menos casas decimais da raiz, devido ao número de casas utilizadas para o arredondamento. 
6. No excel, isolando a raiz de ƒ(×) = 2× - sen (x) + 4 num intervalo [a,b] (a e b binteiros) de comprimento 1, isto é, b-a= 1 utilizando o método de newton, complete o quadro abaixo:
Dando a função ƒ(x)=2x-sen(x)+4 temos que ƒ´(x)=2-cos(x), para encontrar as raízes, será utilizado Xn+1=Xn-ƒ(x)/ƒ (Xn).
Aplicando o método gráfico para isolar as raízes. Considerando g(x)=2x+4 e h(x)=sen(x),representando graficamente essas funções teremos uma reta crescent que corta o eixo em -2cem g(x) e função seno em h (x),que geometricamente será dado por:
Para encontrar o interval onde g(x) e h (X) se encontram podemos analisar que g(x) e está sempre entre -1 e 1, como g (x) é uma reta que passa no ponto (-2,0), teríamos que as funções se cruzam em [-3,-2] ou [-2,-1], como no intervalo [-3,0] a função h (x) é negativa , e em [-2,-1]g (x) é positive descartamos a hipótese da raiz estar neste interval. Portanto a raiz está no interval [-3,-2].
Como g(x) e h (x) são continuas, temos que f(x) é continua neste intervalo. Além disso temos: 
ƒ(x)= 2x –sen (x) +4
ƒ´(x)=2 –cos(x) sempre positiva 
ƒ´´(x)= sin(x) negatividade no intervalo [-3,-2] 
ƒ (-3) ƒ´(-3) = 0,26 ( X0 não pode ser 0 -3)
ƒ(-2) ƒ´(-2)= -0,83 (X0 pode ser 0-2)
7. Use o GeoGebra para esboça o gráfico da função ƒ(x) e determiner seua raiz. Em seguida, compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é Σ ≤ 10^-9.
Desenhando a função ƒ(x) no GeoGebra e marcando a sua raiz, obtemos a seguinte:
Comparando com o valor obdo em Σ ≤ 10^-9 obtemos já uma boa aproximação para a raiz da função. 
8. Em relação ao método da alteração linear, considere a função ƒ(x) = x^3 – cos(x) e X0= 0,5. Justiçando sua resposta sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração F(x)?
Aplicando o método gráfico para isolar as raízes.
Considerando g(x) = x^3 e h (x) = cos(x), representando as 0geometricamente temos: 
Fica claro através do grafico que elas se cruzam na parte em que ambas coordenadas são positivas, além disso a função g(x) passa pelos pontos (0,0) e (1,1) e cresce para valores maiores do que 1, e a função h (x) está sempre entre -1 e 1 no eixo y, podemos perceber que eles se cruzam no intervalo [0,1].
Procedendo com a verificação das hipóteses do método da iteração linear, sabemos que a função ƒ(x) de fato é continua em [0,1] ( pois g (x) são) e possui um zero neste intervalo.
Encontrando a função interação temos ƒ(x)=xx^3- cos(x)=0, devemos isolar um valor de x. 
X^3-cos(x)=0
X^3=cos(x)
Temos duas possibilidades 
X= √cos(x)
Ou 
X= arc cos (x^3)
Consequentemente ƒ(x) =√cos(x) ou ƒ(x) = arc cos (x^3).
Considerando f (x) = √ cos (x), temos que sará sempre menor que 1 no intervalo considerado, portanto temos a garantia da convergêngia da convergência.
9. Sejam ƒ(x) = x^3 –cos (x), x0 =0,5 e uma função de iteração ƒ (x) convenientemente escolhinda. No excel levando em consideração a sequência de ra´zes Xn, complete a tabela abaixo:
10. Use o Geogebra para esboça o gráfico da função ƒ (x) determinar sua raíz. Por fim, compare suas respostas para a raiz encontrada (X32).
Esboçando a função ƒ (x) no Geogebra e encontrando a sua raiz, obtemos: 
Comparando o valor encontrando no GeoGeobra 0,87 e 0,8654740331 no excel. A função dada não é uma função fácil de encontrar a solução analiticamente , como no excel temos erros iguais a zero, temos a garantia do valor da raiz.