AOL 4 CALCULO INTEGRAL

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14/11/2021 19:28 Comentários
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Pergunta 1 -- /1
As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de 
arcos de funções. Para o cálculo de áreas entre curvas, especificamente, elas podem ser manipuladas com 
somas e subtrações para a determinação de uma área de interesse.
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola:
Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por meio de integrais e do 
entendimento acerca de funções quadráticas e lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de um triângulo, (base*altura)/2, 
que resultaria em 3/2.
II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2.
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as seguintes integrais: 
integral subscript 1 superscript 2 x squared plus 1 space d x space minus space integral subscript 1 
superscript 2 2 space d x
IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma integral.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1.png
F, V, F, F.
V, F, F, V.
V, F, V, F.
F, F, V, V.
Resposta corretaF, V, V, F.
Pergunta 2 -- /1
O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio delas, obtém-se 
uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos. Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é 
essencial. Existem inúmeros métodos de integração, cada um para um fim definido. O método de 
integração por partes é um deles, e é extremamente útil para a integração de uma categoria de funções.
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De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por partes, analise as 
afirmativas a seguir:
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções.
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das derivadas, realizando 
manipulações algébricas e integrando ambos lados da igualdade.
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv em outra em termos 
de du e um termo independente de integral.
IV. A função cos(x) é integrável por esse método.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV.
II e III.
I, II e IV.
Resposta corretaI, II e III.
I, III e IV.
Pergunta 3 -- /1
A integral definida possui diversas interpretações geométricas importantes. A mais simples é a da integral 
de uma função definida em um intervalo, que nos dá o valor da área da região sob a curva. Os intervalos 
de integração da integral definida podem ser manipulados para a resolução dessas integrais de outras 
maneiras.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral definida e com seus conhecimentos 
acerca dos diversos métodos de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A área delimitada pela curva f(x) = 1/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2.
II. ( ) Mesmo que a função não seja convergente, é possível calcular sua área dividindo o intervalo em 
subintervalos.
III. ( ) A área delimitada pela curva h(x) = 2/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2.
IV. ( ) A força em um deslocamento de 100m é dada por f(x) = x - 50. Sabendo que o trabalho dessa força é 
dado pela integral da força vezes o deslocamento, pode-se dizer que o trabalho dessa força é nulo para 
esse deslocamento.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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V, V, F, F.
F, V, F, V.
Resposta corretaV, F, F, V.
F, F, V, F.
V, F, F, F.
Pergunta 4 -- /1
O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à integração de 
funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método 
consiste em separar a função em duas partes, de preferência de forma que uma das expressões seja mais 
fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por partes, analise 
as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C.
Porque:
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv = cos(x)dx, de forma 
que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função dada por partes, obtém-se outra expressão com uma 
integral parecida, e novamente é realizada a técnica de integração por partes. Após isso, se isola a integral 
cujo cálculo é desejado para encontrar a primitiva F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta:
Resposta correta
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta 
da I.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições falsas.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
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Pergunta 5 -- /1
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são premissas 
assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros 
conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos 
vão gerando outros, e assim sucessivamente.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de duas 
funções é relevante para a integração por partes porque:
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos.
deve-se derivar as funções antes de integrá-las
ambas são axiomas da matemática.
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem integral por 
partes.
Resposta correta
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução 
do método de integração por partes.
Pergunta 6 -- /1
As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por meio delas que se 
tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento de arcos de funções.
De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale 
V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas podem ser definidas em 
termos de subtrações ou soma de outras integrais.
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II. ( ) A fórmula 
V space equals space integral subscript a superscript b straight pi left square bracket straight f left 
parenthesis straight x right parenthesis right square bracket squared dx
 representa o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação em x.
III. ( ) 
L space equals space integral subscript a superscript b square root of 1 plus left parenthesis f apostrophe 
left parenthesis x right parenthesis right parenthesissquared end root d x
 representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco de uma função.
IV. ( ) 
V space equals space integral subscript a superscript b straight pi left square bracket straight f left 
parenthesis straight x right parenthesis right square bracket squared dx
pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação y.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, F, V, F.
V, V, F, F
V, V, F, V.
V, F, V, V.
Resposta corretaV, V, V, F.
Pergunta 7 -- /1
A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral pauta-se na 
identificação dos integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se eles se tornam mais fáceis de 
serem resolvidos por um método ou outro. Os métodos mais comuns para esse uso são os de substituições 
trigonométricas, frações parciais, integrais por partes e afins.
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a seguir:
I. 
integral fraction numerator x minus 1 over denominator x squared minus x squared minus 2 x end fraction 
d x
 pode ser resolvida pelo método de frações parciais.
II. integral left parenthesis x squared plus 2 right parenthesis to the power of 32 space 2 x space d x pode 
ser resolvida pelo método de substituição u du.
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III. 
integral fraction numerator cos open parentheses x close parentheses over denominator s e n open 
parentheses x close parentheses end fraction d x
é solúvel pelo método das substituições trigonométricas.
IV. 
integral fraction numerator square root of 4 minus x squared end root over denominator x squared end 
fraction d x
 pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta corretaI, II e IV.
I, II e III.
II e IV.
III e IV.
II, III e IV.
Pergunta 8 -- /1
Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica de sua integral. 
Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir evidenciar algum termo que possua integração mais 
simples, e isso ocorre, por exemplo, em integrais de funções com raízes, nas quais nos valemos, muitas 
das vezes, de identidades trigonométricas.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus conhecimentos 
sobre o método da integração por substituições trigonométricas desses tipos de funções, é correto afirmar 
que:
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente 
restrito no intervalo [-pi/2, pi/2].
ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente 
restrito no intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 3pi/2].
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f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w).
Resposta corretaf(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w).
Pergunta 9 -- /1
Para a resolução de integrais, deve-se saber identificar qual método utilizar pela forma de seus 
integrandos, ou seja, pela forma das funções que estão dentro das integrais. Certos tipos de métodos só 
são aplicáveis a integrandos específicos, como é o caso do método de integração por substituições 
trigonométricas.
De acordo com seus conhecimentos sobre o método de integração por substituições trigonométricas, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) square root of a squared minus x squared end root é um integrando que pode ser resolvido por 
substituição trigonométrica.
II. ( ) square root of a squared plus x squared end root é um integrando que pode ser resolvido por 
substituição trigonométrica.
III. ( ) square root of x squared minus a squared end root é um integrando que pode ser resolvido por 
substituição trigonométrica.
IV. ( ) square root of x cubed minus a squared end root é um integrando que pode ser resolvido por 
substituição trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, F, F, V.
F, V, F, V.
F, F, V, F.
Resposta corretaV, V, V, F.
V, V, F, F.
Pergunta 10 -- /1
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Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes de Cálculo 
Integral. Esses métodos possibilitam a reescrita de algumas integrais que, sem eles, não seriam resolvidas. 
Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido como frações parciais.
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo 
com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração:
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os cálculos dessas integrais.
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial.
( ) Substituir os valores nas integrais.
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações.
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
Resposta correta5, 1, 4, 2, 3.
2, 4, 1, 5, 3.
3, 4, 2, 1, 5
5, 2, 3, 4, 1.
2, 1, 3, 4, 5.