UNIDADE 3_ Integrais indefinidas e definidas

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UNIDADE 3: Integrais indefinidas e definidas 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
 Compreender o conceito de integral definida e como ela é 
representada geometricamente; 
 Identificar e manipular algebricamente as integrais indefinidas das 
funções: logarítmicas, exponenciais, trigonométricas diretas e 
trigonométricas inversas; 
 Entender em que sentido se dá a união do cálculo diferencial e 
integral. 
TÓPICOS DE ESTUDO 
A integral da função logarítmica e da função exponencial 
// Função logarítmica 
// Função exponencial 
Integral das funções trigonométricas e suas inversas 
// Funções trigonométricas 
// Funções trigonométricas inversas 
Integral definida, integral de Riemann e generalidades 
// Integral definida e integral de Riemann 
// Definições, propriedades e exemplos 
 
A integral da função logarítmica e da função 
exponencial 
A presente seção tratará do estudo das integrais acerca de dois grupos 
de funções transcendentes: as funções logarítmicas e as exponenciais. 
Ambas são transcendentes, pois não são algébricas, ou seja, não podem 
ser definidas por operações algébricas básicas. 
Antes de entrar no conteúdo específico, serão retomados alguns 
conceitos primordiais para o entendimento do assunto a ser tratado: as 
funções logarítmica e exponencial, suas propriedades e particularidades. 
Somado a isso, serão retomados os conceitos de integral indefinida e 
algumas de suas propriedades fundamentais para o desenvolvimento 
do estudo. 
Por fim, serão apresentadas as integrais de cada tipo de função, seguidas 
de exercícios com enfoque na manipulação algébrica delas. Todo esse 
estudo deixará o trabalho e cálculo das integrais definidas muito mais 
fácil. 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
O grupo das funções transcendentes, aquelas chamadas de não 
algébricas, é de grande importância para o estudo do cálculo. Essas 
funções possuem particularidades nas definições de suas derivadas e 
integrais, e até mesmo nas suas manipulações. 
Vamos tratar da relação entre a integral e uma função transcendente 
específica: a função logarítmica. A definição desse tipo de função está 
pautada na potenciação e exponenciação e, como as outras funções 
transcendentes, não pode ser constituída meramente pelas operações 
algébricas usuais, tais como a adição, subtração, multiplicação e divisão. 
O logaritmo l de um número pode ser definido a partir de uma base a, 
sendo ela: 
a > 0 e a ≠ 1 ∈ ℝ 
Além dessa base, considera-se um número b chamado de logaritmando, 
seguindo a restrição em que: 
b > 0 ∈ ℝ 
Desse modo, define-se o logaritmo: 
loga b = l 
Com a definição de logaritmo evidenciada, uma função logarítmica que 
mensura o logaritmo de um número x pode ser definida da seguinte 
forma: 
f(x) = loga x 
É importante recordar, também, de um logaritmo muito particular: 
aquele que considera sua base como sendo o e – número de Euler. Esse 
logaritmo é chamado de logaritmo natural: 
In x = loge x 
É importante relembrarmos, também, o conceito de integral indefinida, 
para que possamos prosseguir. 
Integral indefinida: se uma função F(x) é uma função primitiva da 
função f(x), então F(x) + C é delimitada como a integral indefinida da 
função f(x). Ela é representada na forma notacional como: 
∫ f(x) · dx = F(x) + C 
Ressalta-se que o que se pretende obter de uma integral indefinida não 
é uma resposta única, mas sim uma família de funções que podem 
representar essa igualdade. Portanto, para cada valor que a 
constante C assumir, tem-se uma resposta válida para a igualdade. 
Salienta-se, também, que é necessário destacar as propriedades das 
integrais, uma vez que, além de relacioná-las com as funções 
logarítmicas, pretende-se manipulá-las algebricamente. Portanto, 
relembrando suas propriedades básicas, elenca-se: 
 
Quadro 1. Propriedades integrais indefinidas. 
A relação que se apresenta entre integrais e os logaritmos é pautada no 
logaritmo natural, e é definida da seguinte forma: 
 
O que se observa, a partir dessa definição, é que é possível definir um 
logaritmo natural com base em uma integral, ou seja, de uma maneira 
diferente da que foi vista até agora. Isso é melhor visto quando se analisa 
essa igualdade sobre uma ótica geométrica, conforme faremos mais à 
frente. 
Uma vez apresentada essa relação entre o logaritmo natural e as 
integrais, trabalha-se alguns exemplos que envolvem a sua aplicação 
conjuntamente com a integral indefinida: 
Exemplo A:
 
Observa-se, por esse exemplo, que, para a aplicação da definição V, 
deve-se deixar o valor do numerador da fração sendo 1, caso contrário, 
ela não seria possível. Para isso, levou-se em conta as propriedades da 
integral. 
 
Outro fator a ser destacado nessa resolução é a utilização da constante. 
É sabido que, ao final de todo processo de integração que trabalhem 
com integrais indefinidas, deve-se adicionar uma constante C, referida 
como constante de integração. 
A constante de integração pode ser adicionada em qualquer momento 
desse processo, uma vez que ele já tenha sido efetuado. Vale lembrar 
que ela é utilizada para que represente um número que pode se perder 
no processo derivativo, sendo impossível delimitar a primitiva da função. 
DICA 
Nesse exemplo, utilizou-se C1 para representar a constante de 
integração, mas isso foi feito antes da resolução. No decorrer, precisou-
se realizar uma multiplicação (.2) com a constante, porém o produto 
dessa multiplicação foi substituído por C. 
Isso é válido, pois se C1 é uma constante, 2 . C1 também é uma 
constante que, nesse caso, foi chamada de C. Portanto, o passo que está 
omitido nessa resolução é que 2 . C1 = C. Esse tipo de resolução é muito 
usual, portanto, o deve estar atento a isso quando consultar outros 
materiais didáticos. atento a isso quando consultar outros materiais 
didáticos. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo B:
 
Nesse exemplo, tal como no anterior, aplicou-se a definição V e a 
propriedade I com a manipulação algébrica anteriormente referida. 
Por fim, apresenta-se mais um exemplo de resolução utilizando a 
definição do logaritmo natural: 
Exemplo C: 
 
Apresentou-se a relação entre as integrais e os logaritmos naturais, de 
modo a ser possível encontrar a integral indefinida associada ao 
logaritmo. Porém, deve-se ter em mente, também, o papel algébrico que 
essa relação tem, ou seja, a importância de se associar uma função 
logarítmica a uma determinada função polinomial. Para compreender a 
importância disso, leva-se em conta a seguinte propriedade das 
integrais de uma função polinomial: 
 
Essa expressão relaciona a integral de uma função polinomial de 
grau n a uma razão que envolve um n + 1 como expoente do 
numerador e seu denominador. Caso se aplique sucessivamente essa 
propriedade das integrais polinomiais a um polinômio, seria obtido: 
Exemplo D: 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Outra função transcendente de extrema relevância para o estudo de 
cálculo é a função exponencial, cujo expoente é escrito em termos de 
uma incógnita x, por exemplo: 
f(x) = ax, onde a ∈ ℝ 
Destaca-se, também, que a função exponencial tem relação com a 
função logarítmica: 
faxdx = x ⇔ ax = b 
Delimita-se, portanto, a integral indefinida de funções exponenciais: 
loga(b) = x ⇔ ax = b 
Observa-se que uma função exponencial tem sua integral relacionada a 
ela mesma e a um logaritmo natural de si. Para a aplicação da definição 
VII, basta que se saiba delimitar qual o valor de a. Para isso, observe os 
exemplos a seguir: 
Exemplo E: 
 
 
 
 
 
Exemplo F: 
 
Os casos apresentados até então somente exigem a identificação da 
base da exponencial a. Porém, existem casos que podem exigir um 
pouco mais além da identificação da base, tais como: 
Exemplo G: 
 
Nesse exemplo, quando foi identificada uma constante multiplicando o 
expoente, aplicou-se a propriedade da exponencial 52x = [52]x = 25x para 
que fosse possível a resolução. Porém existem casosque essa 
manipulação do expoente é inviável de ser executada. Para isso define-
se uma regra mais geral para o cálculo das funções exponenciais, onde 
é uma constante qualquer: 
 
Para a aplicação dessa propriedade, bastaria identificar a base a da 
função exponencial e a constante d. Resolve-se outro exemplo tendo 
em vista essa propriedade: 
Exemplo H: 
 
No cálculo, é muito recorrente o trabalho com funções exponenciais que 
tenham sua base sendo o número de Euler e. Por conta disso, é 
importante pensar a definição VIII aplicada com a base e, e reescrevê-la: 
 
Por fim, uma vez definida uma relação para as bases exponenciais e, para 
aplicar a definição IX, basta identificar o valor da constante d, que pode 
ser verificado nos exemplos a seguir: 
Exemplo I: 
 
Exemplo J: 
 
Integral das funções trigonométricas e 
suas inversas 
A presente seção tratará do estudo das integrais acerca de dois grupos 
de funções transcendentes: as funções trigonométricas diretas e as 
funções trigonométricas inversas. Ambas funções são transcendentes, 
pois não são algébricas, ou seja, não podem ser definidas por operações 
algébricas básicas. 
Inicialmente, reapresentaremos as definições e propriedades de cada 
uma delas. É necessário compreender bem os fundamentos básicos de 
cada objeto matemático para, com decorrer do estudo, desenvolver as 
habilidades esperadas. 
Por fim, serão apresentados exemplos algébricos das aplicações das 
integrais de cada uma das categorias de funções, visando que o aluno 
melhore sua capacidade manipulativa de funções, expressões e 
integrais. 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Na seção anterior, comentamos um pouco sobre funções 
transcendentes e sua importância para o estudo do cálculo. Falamos, 
também, sobre as particularidades dessas funções, no que diz respeito 
à definição de suas derivadas e integrais, bem como em suas 
manipulações. 
Trataremos, agora, das definições das integrais de um tipo específico de 
função transcendente: a função trigonométrica, que também pode 
receber o nome de função circular direta. As funções trigonométricas 
mais conhecidas para quem trabalha no cálculo são as funções seno, 
cosseno e tangente. Essas e outras funções trigonométricas podem ser 
concebidas pelo círculo trigonométrico de raio unitário: 
 
Figura 1. Círculo trigonométrico de raio unitário. 
 
Quadro 2. Integrais das funções trigonométricas. 
// Exemplo A: 
Calcule a integral indefinida: ∫ 2 cos(x)dx 
Calculando: ∫ 2 cos(x)dx = 2 ∫ cos(x)dx 
= (Aplicando o Quadro 2) 
= 2 [sen(x)] + c 
∫ 2 cos(x)dx = 2 [sen(x)] + C 
// Exemplo B: 
Calcule a integral indefinida: ∫ 3 tg(x)dx 
Calculando: ∫ 3 tg(x)dx = ∫ 3 tg(x)dx 
= (Aplicando o Quadro 2) 
= 3In |sec(x)| + C 
∫ 3 tg (x) dx = 3In |sec (x)| + C 
 
// Exemplo C: 
Calcule a integral indefinida: ∫ cos(x) - sen(x)dx 
Calculando: ∫ cos(x) - sen(x)dx = ∫ cos(x) - ∫ cos(x)dx 
= (Aplicando o Quadro 2) 
= sen(x) - [-cos(x)] + C 
= sen(x) + cos(x) + C 
∫ cos(x) - sen(x)dx = sen(x) + cos (x) + C 
Com a resolução dos exemplos acima, entendemos a forma que 
devemos aplicar as integrais das funções trigonométricas, a fim de se 
resolver um exercício. Porém, existem alguns casos específicos de 
funções trigonométricas que não são integradas por essas regras – são 
os casos das funções que envolvem potências de funções 
trigonométricas, apresentadas no Quadro 3: 
 
Quadro 3. Integrais das funções trigonométricas com potência. 
Para aplicar essas integrais, basta, somente, identificar o valor de n e a 
função trigonométrica a qual se refere. Vejamos alguns exemplos: 
 
 
 
// Exemplo D: 
 
 
É comum os casos em que, ao aplicar a fórmula para o cálculo das 
integrais trigonométricas com potência, ainda precisemos resolver outra 
integral, podendo levar a um processo recursivo, ou seja, que necessite 
repetir uma fórmula. 
 
 
// Exemplo E: 
 
 
 
Nesse exemplo, assim como no anterior, foi necessário o cálculo de 
outra integral no meio do processo, porém uma conhecida. Além disso, 
esse exemplo exigiu que usássemos a relação fundamental da 
trigonometria: sen²(x) + cos²(x) = 1. 
Por fim, analisaremos um caso onde a fórmula de integração teve de ser 
aplicada sucessivas vezes: 
// Exemplo F: 
 
Nesse momento, deveríamos interromper a resolução para encontrar a 
integral de ∫ sen2 (x)dx. Porém, para resolver esse exercício, calculamos 
seu resultado à parte. Portanto, tem-se que: 
 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
Agora, comentaremos um pouco sobre as funções trigonométricas 
inversas. No Quadro 4, apresentaremos as principais delas, junto de suas 
respectivas derivadas: 
 
Quadro 4. Derivadas das funções trigonométricas inversas. 
Tendo em vista as derivadas das funções trigonométricas inversas e 
pensando que a integral pode ser concebida como a inversa da derivada, 
associa-se a cada função trigonométrica inversa uma integral: 
 
 
Quadro 5. Relações entre integrais e funções trigonométricas inversas. 
Uma vez explicitadas as integrais das funções trigonométricas inversas, 
apresentam-se alguns exemplos que exploram a aplicação dessas 
igualdades: 
// Exemplo A: 
Calcule a integral indefinida: ∫sen-1(x) + cos(x) dx 
Calculando: ∫sen-1(x)+cos(x)dx =∫sen-1(x)dx+∫cos(x)dx 
= (Aplicando o Quadro 5) 
= x sin-1 (x) + √1 - x2 + sen(x) + C 
 ∫ sen-1 (x) + cos(x)dx = x sin-1 (x) + √1 - x2 + 
sen(x) + C 
// Exemplo B: 
Calcule a integral indefinida: ∫cos-1(x) - sen(x)dx 
Calculando: ∫cos-1(x) - sen(x)dx = ∫cos-1(x)dx - ∫sen(x)dx 
= (Aplicando o Quadro 5) 
= x cos-1 (x) - √1 - x 2 + cos(x) + C 
∫cos-1(x) - sen(x)dx=x cos-1 (x)- √1-x 2 + cos(x) + C 
// Exemplo C: 
 
// Exemplo D: 
 
 
 
// Exemplo E: 
 
Por fim, eis um exemplo da função cossecante inversa: 
// Exemplo F: 
 
 
 
Integral definida, integral de Riemann e 
generalidades 
Agora, falaremos sobre um assunto intimamente ligado ao que foi 
estudado ao longo dessa unidade: as integrais definidas. Até o 
presente momento, trabalhamos apenas com integrais indefinidas, 
focando, portanto, nas manipulações e operacionalizações que ocorrem 
ao longo de seu processo de resolução. 
Porém, com a delimitação das integrais definidas, é possível aplicá-las a 
todos os grupos de funções anteriormente vistos. Isso faz com que seja 
possível encontrar áreas, volumes, comprimento e afins, a partir das 
funções de interesse. 
Preste bem atenção: esse é o momento mais importante dessa unidade, 
pois apresentar o conceito de integral definida nos gera um 
entendimento enorme sobre o cálculo, ainda mais se aliado ao Teorema 
Fundamental do Cálculo e suas implicações em problemas algébricos 
– antes tratados com integrais indefinidas. A partir dele, também, será 
possível entendermos melhor a relação entre o cálculo diferencial e 
integral. 
INTEGRAL DEFINIDA E INTEGRAL DE 
RIEMANN 
Até o momento, os estudos das integrais focaram-se nas integrais 
indefinidas, ou seja, na família de soluções para uma certa expressão. 
Porém, nessa seção, o intuito é definir o que seria uma área de uma 
região A embaixo de uma curva sobre os eixos x e y. 
 
Gráfico 1. Aproximação da área A com retângulos. 
Para isso, imagina-se uma situação onde se queira mensurar a área 
embaixo de uma determinada curva, delimitada em um intervalo 
qualquer [a; b]. Uma maneira de fazer isso é utilizando retângulos, de 
modo a preencher a maior parte da área dessa curva, assim como 
demonstrado no Gráfico 1. 
Existem várias maneiras de se aproximar da área de uma figura usando 
retângulos. Algumas foram separadas e mostradas no Gráfico 2. A 
aproximação escolhida do ponto médio (última da direita), por exemplo, 
considera somente os triângulos que estão tangendo a curva 
pelo ponto médio. Esse meio costuma ser o mais eficaz. 
 
Gráfico 2. Meios de aproximação. Fonte: ANTON, 1998, p. 407. (Adaptado). 
Obtém-se, a partir daí, uma definição acercade área sob a curva: 
Definição: dada uma função g contínua em um intervalo [a, b], e essa 
função g(x) ≥ 0 para todo x desse intervalo, então a área da curva no 
intervalo é dada por: 
 
A ideia dessa representação é a de que quanto mais retângulos se tem, 
melhor é sua aproximação com essa área. Portanto, se o limite 
representa a proximidade de n com infinito, quer dizer que a área dessa 
curva conseguirá ser delimitada de uma forma perfeita. 
A partir dessa notação de limite, define-se o que se chama de integral 
definida: 
 
Os números a e b presentes nessa representação referem-se aos limites 
de integração. O número a refere-se ao limite inferior, e o b ao limite 
superior. O argumento dessa integral f(x) é chamado de integrando. 
Ressalta-se, porém, que, nessa representação, as larguras dos 
retângulos, delimitadas por Δx, permanecem constantes. Portanto, essa 
variável deve ser alterada para Δxk, que representa a largura variável e 
possível dos retângulos. 
Somado a isso, deve-se alterar o limite, para indicar que todas as 
larguras de todos os subintervalos se aproximem de 0. Para isso, é 
necessário efetuar a substituição de n → +∞ por maxΔxk → 0. 
A partir daí, temos uma definição mais geral: 
 
Essa somatória presente na expressão é chamada de somatória de 
Riemann, que também recebe o nome de integral de Riemann. Vale 
lembrar que essa representação não depende da escolha dos pontos e 
dos tamanhos dos retângulos associados a eles. 
DEFINIÇÕES, PROPRIEDADES E EXEMPLOS 
Apresentamos, até o momento, a definição de integral definida e a 
integral de Riemann, ressaltando algumas particularidades em cada um 
desses conceitos. Agora, vamos explorar algumas propriedades 
advindas dessa discussão, o Teorema Central do Cálculo e alguns 
exemplos relacionados à resolução de integrais. 
A partir daí, estabelece-se as seguintes definições: 
 
Quadro 6. Definições de integral definida. 
A primeira definição aponta que a integral em um ponto é nula, ou seja, 
que a implicação de se construir um retângulo de largura 0 é que esse 
será o valor atribuído à expressão. Já a segunda aponta a possível 
inversão dos limites de integração, apenas alterando o sinal da 
expressão. 
Apresentam-se outras propriedades importantes da integral definida, 
dado um intervalo [a, b] onde g e f são integráveis, e uma constante k, 
tem-se que: 
 
Quadro 7. Propriedades da integral definida. 
A propriedade I aponta que a constante multiplicativa não interfere no 
cálculo da integral, podendo ser deixada de lado na hora da resolução 
do exercício. As propriedades II e III ressaltam que se pode integrar uma 
soma ou subtração de funções, de forma conjunta ou separada, sem 
interferir em seu valor. Por fim, a propriedade IV aponta que uma 
integral pode ser fragmentada em outras duas, caso o intervalo de 
integração contenha os outros limites de integração. 
Apresentadas as propriedades, trabalha-se alguns exemplos: 
Exemplo A: 
 
 
 
 
 
Exemplo B: 
 
Exemplo C: 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo: realiza a conexão entre o cálculo 
integral e o cálculo diferencial. Ele permite com que seja calculada a 
integral definida dentro de um intervalo [a, b]. 
Definição: dada f(x) integrável em um intervalo [a, b], caso F(x) seja uma 
antiderivada de f(x), então tem-se que: 
 
DICA 
No cálculo diferencial e integral é extremamente comum o trabalho com 
integrais. Devido a isso, algumas escritas notacionais são menos 
utilizadas, por mais que sejam teoricamente explicativas. F(b) - F(a) é o 
exemplo disso, pois é comumente escrito na forma F(x)|ba . Portanto, 
caso o leitor encontre essa forma em outros materiais, saiba que as duas 
representações apontam para o mesmo objeto matemático. 
Uma vez explicado o cálculo das integrais definidas, resta-nos revisitar 
alguns tópicos já estudados, podendo, agora, efetuar os cálculos que 
envolvam esse conceito. 
Para as funções polinomiais, avaliam-se as seguintes integrais definidas: 
Exemplo D: 
 
 
Gráfico 3. Da função ∫ 30 x + 2dx. 
 
 
Exemplo E: 
 
 
Gráfico 4. Da função ∫ 10 2x3 + xdx. 
 
Referente às funções trigonométricas, avaliam-se os seguintes casos: 
Exemplo F: 
 
 
Gráfico 5. Da função ∫ Π 0 sen(x)dx. 
 
Exemplo G: 
 
 
 
 
Gráfico 6. Da função ∫ Π 0 cos(x)dx. 
 
Todos os valores numéricos encontrados referem-se aos valores das 
áreas em destaque nos gráficos. Vale ressaltar que, no Exemplo G, 
encontrou-se um valor nulo, pois as duas regiões em destaque no 
Gráfico 6 se cancelam. 
 
 
 
SINTETIZANDO 
Dentre os objetivos que esperávamos alcançar nessa unidade, estava a 
compreensão do conceito de integral definida e como ela é 
representada geometricamente. Esperamos tê-lo feito a partir dos 
estudos que foram desenvolvidos na última seção dessa unidade, onde 
apresentamos a integral definida e sua representação geométrica. 
Além disso, queríamos que os alunos identificassem e manipulassem 
algebricamente as integrais das funções: logarítmicas, exponenciais, 
trigonométricas diretas e trigonométricas inversas. Esse objetivo está 
contemplado em todas as seções dessa unidade, uma vez que tratam de 
aspectos básicos das integrais definidas e indefinidas. 
Por fim, buscamos fazer com que o aluno entendesse o sentido que se 
dá à união do cálculo diferencial com o cálculo integral. Foi nosso último 
esforço nessa unidade, quando apresentamos o Teorema Fundamental 
do Cálculo, seguido de algumas de suas particularidades, e também suas 
aplicações algébricas com os respectivos cálculos.