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Exercícios Resolvidos: Integrais Indefinidas
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Curso: Licenciatura em Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Aluno: Sérgio Ferreira Guimarães Júnior – AQ3000311 Unidade III – Atividade I (U3 – A1) Calcule as integrais indefinidas: 𝐚) ∫ 𝒙𝟑 𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟒 + 𝟐) 𝒅𝒙 Usando 𝑑𝑥 = 1 𝑢′ 𝑑𝑢, com 𝑢 = 𝑥4 + 2 e 𝑢′ = 4𝑥3, temos ∫ 𝑥3 cos(𝑥4 + 2) . 1 4𝑥3 𝑑𝑢 ⇒ ∫ cos(𝑥4 + 2) . 1 4 𝑑𝑢 ⇒ ∫ cos(𝑥4 + 2) 4 𝑑𝑢 ⇒ ∫ cos(𝑢) 4 𝑑𝑢 ⇒ ∫ 1 4 . cos(𝑢) 𝑑𝑢 = 1 4 . sen(𝑢) = 1 4 . sen(𝑥4 + 2) = 𝐬𝐞𝐧(𝒙𝟒 + 𝟐) 𝟒 + 𝑪, 𝑪 ∈ ℝ 𝐛) ∫ √𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 Usando 𝑑𝑥 = 1 𝑢′ 𝑑𝑢, com 𝑢 = 2𝑥 + 1 e 𝑢′ = 2, temos ∫ √2𝑥 + 1. 1 2 𝑑𝑢 ⇒ ∫ 1 2 . √2𝑥 + 1 𝑑𝑢 ⇒ ∫ 1 2 . √𝑢 𝑑𝑢 ⇒ 1 2 ∫ √𝑢 𝑑𝑢 ⇒ 1 2 ∫ 𝑢 1 2 𝑑𝑢 = 1 2 . 2𝑢√𝑢 3 = 𝑢√𝑢 3 = (𝟐𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 𝟑 + 𝑪, , 𝑪 ∈ ℝ 𝐜) ∫ 𝒆𝟓𝒙 𝒅𝒙 Usando 𝑑𝑥 = 1 𝑢′ 𝑑𝑢, com 𝑢 = 5𝑥 e 𝑢′ = 5, temos 1 5 . 𝑒5𝑥 = 𝒆𝟓𝒙 𝟓 + 𝑪, 𝑪 ∈ ℝ 𝐝) ∫ 𝐭𝐠 𝒙 𝒅𝒙 ∫ tg 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sen 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 Usando 𝑑𝑥 = 1 𝑢′ 𝑑𝑢, com 𝑢 = cos 𝑥 e 𝑢′ = − sen 𝑥 , temos ∫ sen 𝑥 cos 𝑥 . 1 − sen 𝑥 𝑑𝑢 ⇒ ∫ − 1 cos 𝑥 𝑑𝑢 ⇒ − ∫ 1 cos 𝑥 𝑑𝑢 ⇒ − ∫ 1 𝑢 𝑑𝑢 = − ln|𝑢| =− 𝐥𝐧|𝐜𝐨𝐬 𝒙| + 𝑪, 𝑪 ∈ ℝ
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