3_Modulo_Conjugado

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UTFPR

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Alceu Cichaczewski

15/11/2021

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Variáveis Complexas

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Módulo e conjugado de um número complexo
Definição (5)
O módulo, valor absoluto ou norma de z = x + iy é o número
real não-negativo |z| =
√
x2 + y2.
Definição (6)
O conjugado de um número complexo z = x + iy é o número
complexo z = x − iy
Prof. Rodrigo Andrade Variáveis Complexas A
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Módulo e conjugado de um número complexo
Definição (5)
O módulo, valor absoluto ou norma de z = x + iy é o número
real não-negativo |z| =
√
x2 + y2.
Definição (6)
O conjugado de um número complexo z = x + iy é o número
complexo z = x − iy
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Módulo e conjugado de um número complexo
Definição (5)
O módulo, valor absoluto ou norma de z = x + iy é o número
real não-negativo |z| =
√
x2 + y2.
Definição (6)
O conjugado de um número complexo z = x + iy é o número
complexo z = x − iy
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Propriedades
Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Propriedades
Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Propriedades
Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Propriedades
Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Propriedades
Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Propriedades
Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Propriedades
Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Propriedades
Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Dados z, z1 e z2 complexos, valem as seguintes propriedades:
(1) |z| = |z̄|
(2) Re(z) =
z + z̄
2
(3) Im(z) =
z − z̄
2i
(4) z1 + z2 = z1 + z2
(5) z1z2 = z1 · z2
(6)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
(7) z̄ = z.
(8) z ∈ R⇔ z = z̄
(9) λz = λz̄ se λ ∈ R
(10) |Re(z)| ≤ |z|
(11) |z1z2| = |z1||z2|
(12)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , se z2 6= 0
(13) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
(14) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
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Pergunta
Em qual situação utilizar as propriedades (13) e (14)?
Exemplo (4)
Determine o máximo (limitante superior) de
∣∣∣∣ z + 2z4 + 3z2 + 2
∣∣∣∣
quando |z| = 2
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Pergunta
Em qual situaçãoutilizar as propriedades (13) e (14)?
Exemplo (4)
Determine o máximo (limitante superior) de
∣∣∣∣ z + 2z4 + 3z2 + 2
∣∣∣∣
quando |z| = 2
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Exemplo (5)
Os três pontos z1 = 1 + 5i , z2 = −4− i e z3 = 3 + i são
vértices de um triângulo. Determine o comprimento da
mediana de z1 ao lado z3 − z2.
Exemplo (6)
Resolva a equação:
z + 2z = 1− i .
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Exemplo (5)
Os três pontos z1 = 1 + 5i , z2 = −4− i e z3 = 3 + i são
vértices de um triângulo. Determine o comprimento da
mediana de z1 ao lado z3 − z2.
Exemplo (6)
Resolva a equação:
z + 2z = 1− i .
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