Números Complexos e suas Operações

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Do século XVI ao XVIII , os matemáticos tiveram pela frente problemas de enunciado simples como o a seguir. 
 
 
x x
x
nada sign
2 18 82 0
4
18 4
2
18 4 1
2
18 2 1
2
9 1
1
− + =
= −
=
± −
=
± −
=
± −
= ± −
− ⇒
∆
( )
ifica
 
 
 Convencidos da necessidade de se dar uma interpretação às raízes quadradas de números negativos, os matemáticos 
criaram o número i , chamado unidade imaginária, tal que: 
 
 i 2 = - 1 
 
 
CONJUNTOS DOS NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 A partir da unidade imaginária surge um novo conjunto numérico, chamado conjunto dos números complexos, que 
indicamos por C. 
 Os números do conjunto C podem ser escritos de várias formas. Entre elas a mais prática é: 
 
 Z = a + b.i ( forma algébrica ) 
 
Z = a + 0.i ( é um número real ) 
Z = 0 + b.i ( é um número imaginário puro ) 
 
EXERCÍCIOS DE SALA 
 
01) Considerando o número complexo z = (m - 3) + (n2 - 25).i , determinar m e n de modo que Z seja: 
 a) um número real R: n = ±±±± 5 , ∀∀∀∀ m ∈∈∈∈ R 
 b) um número imaginário puro. R: m = 3 e n ≠≠≠≠ ±±±± 5 
 
02) Determinar o valor de k de modo que z = (2k - 6) + 2.i seja imaginário puro. 
 R: k = 3 
 
03) Encontrar o valor de m de modo que o complexo Z = 2 + (3m - 1).i seja um número real. 
 R: m = 1/3 
 
04) Resolver a equação x2 + 4 = 0 
 R: ±±±± 2i 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 
 
01) Determinar x, x ∈ R , para que o número complexo (x2 - 25) + (x - 5)i seja imaginário puro. 
 R: x = - 5 
 
02) Obter x , x ∈ R , de modo que o número complexo 5 + (x2 - 9)i seja real. 
 R: x = ±±±± 3 
 
03) Resolver a equação x2 - 4x + 5 = 0 
 R: 2 + i ou 2 - i 
 
04) Dado z = (p - 2) + (p2 - 4).i , determine p de modo que z seja um número real não nulo. 
 R: - 2 
 
05) Resolva , em C , a equação x2 - 4x + 13 = 0. 
 R: 2 ±±±± 3i 
IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 Dois números complexos são iguais se forem respectivamente iguais suas partes reais e imaginárias. 
 Assim, dados Z1 = a + bi e Z2 = c + di , temos: 
 
 Z1 = Z2 � a + bi = c + di a = c e b = d 
 
EXERCÍCIOS DE SALA 
 
01) Determinar os números reais x e y de modo que 2x - 5yi = 4 + 10i 
 R: x = 2 e y = - 2 
 
02) Calcule x e y de modo que: 
 a) 2x - 4yi = 10 - 5i R: x = 5 e y = 5/4 
 b) (x2 - 9) + ( 2y - 5)i = 7 i R: x = ±±±± 3 e y = 6 
 c) (x + y) + (2x - y)i = 8 + 10i R: x = 6 e y = 2 
d) (3x - y) + (x +y)i = 12 R: x = 3 e y = - 3 
 
03) Sendo z1 = x
2 - 1 + (4 - y)i e z2 = 3 - 10i , determine x e y , para que z1 seja igual a z2 . 
 R: ±±±± 2 e 14 
 
ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO 
 
 Dados os números complexos Z1 = a + bi e Z2 = c + di , com a, b, c e d reais, definimos: 
 
Adição: 
 
 Z1 + Z2 = (a + bi) + (c + di) Z1 + Z 2 = ( a + c ) + ( b + d ).i 
 
 
Subtração: 
 
 Z1 - Z2 = (a + bi) - (c + di) Z1 - Z 2 = ( a - c ) + ( b - d ).i 
 
 
Multiplicação: 
 
 Z1 . Z2 = (a + bi).(c + di) = ac + adi + cbi + bdi
2 ( i2 = - 1) 
 
 Z1 . Z 2 = ( ac - bd ) + (ad + cb ).i 
 
 
EXERCÍCIOS DE SALA 
 
01) Dados Z1 = 5 + 2i e Z2 = 3 - 4i , calcular: 
 
 a) Z1 + Z2 R: 8 - 2i 
 b) Z1 - Z2 R: 2 + 6i 
 c) Z1 . Z2 R: 23 - 14i 
 
02) Dados Z = 3 - 5i , calcular Z2. 
 R: - 16 - 30i 
 
03) Dados Z1 = 2 - i e Z2 = -3 + 2i , calcule: 
 
 a) 2.Z1 - 3.Z2 R: 13 - 8i 
 b) 2.( Z1 + Z2 ) R: - 2 + 2i 
 
04) Determine o número complexo z tal que z2 = 21 + 20i. 
 R: 5 + 2i e - 5 - 2i 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 
 
01) Sendo Z1 = 5 - 2i e Z2 = -2 + 3i , calcule: 
 
 a) Z1 + Z2 R: 3 + i 
 b) Z1 - Z2 R: 7 - 5i 
 c) Z1 . Z2 R: - 4 + 19i 
 d) (Z1)
2 R: 21 - 10i 
 e) (Z2)
2 R: -5 - 12i 
 
02) Calcule: 
 
 a) 
1
2
2
3
1
2
1
3
2−





 + − +





 +. . .i i i R: .i
3
5
 
 b) 3i(6 - 5i)(i + 2) R: 12 + 51i 
 
 c) ( )2 2 2
2
− −. .( . )i i R: - 8 
 
03) Sejam Z1 = 8 - 4.i , Z2 = 2 + 5i e Z3 = 6i 
 
 a) Z1 + Z2 R: 10 + i 
 b) Z1 - Z2 R: 6 - 9i 
 c) Z1 + Z3 R: 8 + 2i 
 d) Z1 - Z3 R: 8 - 10i 
 
 
POTÊNCIAS DAS UNIDADES IMAGINÁRIAS ( i ) 
 
 Vamos calcular as potências in com n ∈ N. 
 
 i0 = 1 
 i1 = i i5 = i n 4 q = quociente da divisão 
 i2 = -1 i6 = -1 r q r = resto da divisão 
 i3 = -i : 
 i4 = 1 in = ir 
 
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO 
 
 Dado um número complexo Z = a + bi , chama-se conjugado de Z , que se indica por Z ao número complexo 
biaZ −= 
 Exemplo: Z = 1 - 2i ⇒ Z i= +1 2 
 
EXERCÍCIOS DE SALA 
 
01) Dê os conjugados de: 
 a) Z = 6 + 4i Z = 
 
 b) W = -3 -i W = 
 
 c) Y = 4i Y = 
 
 d) Z = 5 Z = 
 
 e) T = -i T = 
 
 
02) Qual o valor da expressão y = i + i2 + i3 + i4 + i5 + ... + i1001. 
 R: i 
03) Calcular: 
 
 a) ( 3 + 5i ) - ( )2 3− i R: 1 + 2i 
 b) 2i.( 3 - i ) + i.( 2 2+ i ) R: 4 + 8i 
 
04) Resolver a equação 2.Z + Z = 15 - 2i sendo Z ∈ C , Z = a + bi 
 R: a = 5 e b = - 2 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 
 
01) Sejam Z1 = 8 - 4i , Z2 = 2 + 5i e Z3 = 6i , calcular: 
 
 a) Z1 + Z2 R: 10 - 9i 
 b) Z1 - Z2 R: 6 + i 
 c) Z Z Z1 2 3+ − R: 10 + 3i 
 d) Z Z Z1 2 3− + R: 6 + 15i 
 
02) Determinar o número complexo Z = 2 + yi , y ∈ R , tal que Z = Z i+ 8 
 R: Z = 2 + 4i 
 
03) Determinar os números reais x e y tais que ( 2x + 2i ) + ( 3 + yi ) = 5 + 7i. 
 R: x = 1 e y = 5 
 
04) Encontre o número complexo z , tal que i.Z + 2. Z + 1 - i = 0, em que i é a unidade imaginária e Z o conjugado de Z. 
 R: -1 - i 
 
 
PROPRIEDADES: 
 
 
01 - Z Z Z Z1 2 1 2+ = + 
 
02 - Z Z Z Z1 2 1 2. .= 
 
03 - ( )Z Zn
n
= 
 
04 - Z = a ⇒ Z a= 
 
 
DIVISÃO 
 
 Dados os números complexos Z1 = a + bi e Z2 = c + di , com Z2 ≠ 0 , podemos obter o quociente de Z1 por 
Z2 escrevendo sob a forma 
Z
Z
1
2
 e multiplicando os dois termos da fração pelo conjugado de Z2 . 
 
 
Z
Z
a bi
c di
a bi c di
c di c di
ac adi bci bd
c d
1
2
2 2
=
+
+
=
+ −
+ −
=
− + +
+
( ).( )
( ).( )
 
 
 
Z
Z
ac + bd
c + d
+
bc - ad
c + d
1
2
2 2 2 2
= .i 
 
Condição para cálculo do inverso ���� Z.Z
-1 = Z-1.Z = 1 ⇒ Z =
1
Z
- 1 
EXERCÍCIOS DE SALA 
 
01) Calcular o quociente de ( 3 + 2i ) por ( 4 - 3i ) 
 R: 
6
25
17
25
.i+ 
02) Colocar na forma x + yi a expressão 
2 2
3
+
+
−
i
i
i
i
 
 R: 
4
5
7
5
.i− 
03) Sendo Z = 1 3− i , calcule 
Z
Z
2
 
 R: - 2 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 
01) Calcule: 
 
 a) 
2 5
4 2
+
−
i
i
 R: − +
1
10
6
5
.i 
 
 b) 
3
2
i
i+
 R: 
3
5
6
5
.i+ 
 
 c) 
3
i
 R: - 3i 
 
 d) 
2
2 + i
 R: 
2 2
3
2
3
.i− 
 
 e) 
4
1
+
−
i
i
 R: 
3
2
5
2
.i+ 
 
 f)
7 2
3 7
+
−
i
i
 R: 
7
58
55
58
.i+ 
 
02) Sejam Z1 = 2 e Z2 = 3 + 5i. Efetuar Z1 : Z2 
 R: 
3
17
5
17
.i− 
03) Sejam Z1 = 1 + 2i e Z2 = 1 - i . Efetuar Z1 : Z2 
 R: − +
1
2
3
2
.i 
04) Determinar o inverso do número complexo Z = 4 + 2i 
 R: i
10
1
5
1
− 
05) PUC - Qual deve ser o valor de k ∈ R , de modo que o número complexo 
i.k4
i.31
z
+
+−
= seja real? 
 R: -12 
 
06) FEI - Ache o conjugado do número complexo z2 , em quez = a.(cos α + i.sen α) , com a = 2 e α = π/8 . 
 R: .i2222 − 
07) Obtenha o valor de m , para que 
i.32
i.m4
z
+
−
= seja um número real. 
 R: - 6 
 
08) FAAP - Calcule 
i.34
20
i.43
i.55
+
+
−
+
 
 R: 3 - i 
MÓDULO E ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO 
 
 Consideremos o número complexo, não nulo, Z = a + bi e o ponto P que o representa. 
 
 IM 
( EIXO IMAGINÁRIO ) 
 
 
 b P(a,b) ρ2 = a2 + b2 
 
 ρ 22 ba ++++====ρρρρ 
 ϕ Re 
 (0,0) a ( EIXO REAL ) 
 
 A distância ρ de P até a origem O é denominada módulo de Z , e indicamos: 
 
 22 baZ ++++========ρρρρ 
 
 ϕϕϕϕ é o argumento do complexo Z ( 0 ≤ ϕϕϕϕ < 2π ) 
 
 
ρρρρ
====ϕϕϕϕ
b
sen 
ρρρρ
====ϕϕϕϕ
a
cos 
 
 
EXERCÍCIOS DE SALA 
 
01) Calcular os módulos dos complexos: 
 
 a) Z1 = 3 + 4i R: 5 
 
 b) Z2 = 3 5− i R: 2 7 
 
 c) Z3 = 6i R: 6 
 
 
02) Representar graficamente os complexos: 
 
 a) Z = 1 + 3 i 
 
 b) Z = -2 + 2i 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 
 
01) Representar graficamente os números complexos: 
 
 a) Z = -3i 
 
 b) Z = 2 
 
02) Determinar o módulo e argumento de cada um dos complexos: 
 
 a) Z = 3 + i R: ρρρρ = 2 e ϕϕϕϕ = 30o 
 
 b) Z = 2 - 2i R: ρρρρ = 2 2 e ϕϕϕϕ = 315o 
 
 c) Z = -3i R: ρρρρ = 3 e ϕϕϕϕ = 270o 
 d) Z
i
= +
1
2 2
 R: ρρρρ = 
2
2
 e 45
o
ϕ = 
FORMA TRIGONOMÉTRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 Consideremos um complexo não nulo, Z = a + bi , com a e b reais, de módulo ρρρρ e argumento ϕϕϕϕ. 
 Sabemos que: 
 
cos .cos
sen .sen
ϕ
ρ
ρ ϕ
ϕ
ρ
ρ ϕ
= ⇒ =
= ⇒ =
a
a
b
b
 
 
 Substituindo em Z = a + bi temos: 
 
 
 Z = ρ.cos ϕ + ρ.sen ϕ.i ⇒ Z = ρρρρ.( cos ϕϕϕϕ + i.sen ϕϕϕϕ ) ⇒ Forma trigonométrica 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE SALA 
 
 
01) Escrever na forma trigonométrica: 
 
 a) Z = 3 + 3i R: )45i.sen45.(cos23 oo + 
 
 a) Z = 1 - i R: )315i.sen315.(cos2 oo + 
 
 c) Z = - 3 + i R: )150i.sen1502.(cos oo + 
 
 d) Z = 5 i R: )90i.sen90.(cos5 oo + 
 
 
02) Obtenha a forma algébrica de cada um dos seguintes números complexos: 
 
 a) Z1 = 2.(cos 60
o + i.sen 60o) R: 1 i. 3+ 
 
 b) Z2 = 1. cos .sen
3
2
3
2
π π
+





i R: - i 
 
 c) Z3 = 8.(cos 30
o + i.sen 30o) R: 4 3 4i+ 
 
 d) Z4 = 10. cos .sen
7
4
7
4
π π
+





i R: 5 2 5 2.i− 
 
 e) Z5 = 5.(cos 0
o + i.sen 0o) R: 5 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 
 
01) Determine o menor valor inteiro positivo de n , de modo que o número Z = 5
3 3
. cos
.
.sen
.n
i
nπ π
+





 seja real. 
 R: 3 
 
 
02) Encontre o menor valor inteiro positivo de n , de modo que o número Z = 4
8 8
. cos
.
.sen
.n
i
nπ π
+





 seja imaginário puro. 
 R: 4 
03) São dados os números complexos Z1 = 3
6 6
. cos .sen
π π
+





i , Z2 = 2
2
3
2
3
. cos .sen
π π
+





i , Z3 = 4
3 3
. cos .sen
π π
+





i 
 calcule: 
 a) Z1.Z2 R: 6. cos
5
6
i.sen
5
6
π π
+





 = − +3 3 3.i 
 b) Z1.Z3 R: 12. cos
2
i.sen
2
π π
+





 = 12.i 
 c) Z3
2 R: 16. cos
2
3
i.sen
2
3
π π
+





 = − +8 8 3.i 
 d) Z2.Z3 R: ( )π+π i.sencos8. = - 8 
 e) Z1
2 R: 9. cos
3
i.sen
3
π π
+





 = 
9
2
9 3
2
.i+ 
 f) Z2
3 R: ( )π+π 2i.sen2cos8. = 8 
 g) Z1.Z2.Z3 R: 24. cos
7
6
i.sen
7
6
π π
+





 = − + −12 3 12.i 
 
 
04) Na figura abaixo o ponto P representa o afixo do complexo Z. Escreva Z na forma trigonométrica. 
 y 
 
 
 2 P 
 
 
 x 
 0 2 3 
 
 
OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA 
 
 Multiplicação 
 
 (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]21212121 i.sencos...ZZ θθθθ++++θθθθ++++θθθθ++++θθθθρρρρρρρρ==== 
 
 
 Divisão 
 
 (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]2121
2
1
2
1 i.sencos.
Z
Z
θθθθ−−−−θθθθ++++θθθθ−−−−θθθθ
ρρρρ
ρρρρ
==== 
 
 
 Potenciação 
 
 (((( ))))θθθθ++++θθθθρρρρ==== n.i.senn.cos.Z nn Fórmula de Moivre 
 
 
 Radiciação 
 
 
 




 ππππ++++θθθθ
++++
ππππ++++θθθθ
ρρρρ========
n
2.k.
i.sen
n
2.k.
cos.ZW nn 2a Fórmula de Moivre 
 
 
Todo número complexo Z diferente de zero tem exatamente n raízes enésimas. 
Basta fazer k = 0, 1, 2, 3, ... , n - 1. 
EXERCÍCIOS DE SALA 
 
01) Calcular as raízes cúbicas de 8.i 
 R: ( 3 + i) ; (- 3 + i) ; - 2i 
 
02) Sendo Z = 2.(cos 30o + i.sen 30o) , calcular Z10. 
 R: .i3512+512- 
03) Calcular − +






1
2
3
2
20
.i 
 R: − −






1
2
3
2
.i 
04) Calcular as raízes cúbicas de 1. 
R: Z1 = 1.(cos 0
o + i.sen 0o) = 1 ; Z 1. cos 
2
3
i.sen 
2
3
2 = +






π π
= − +
1
2
3
2
.i ; Z 1. cos
4
3
i.sen
4
3
3 = +






π π
= − −
1
2
3
2
.i 
 
05) Determine as raízes sêxtuplas de 1 e calcule a área do polígono formado quando unimos os extremos consecutivos dos 
módulos. 
 R: u.a.
2
3
3A;i
2
3
2
1
;i
2
3
2
1
;1 =±−±± 
 
TESTES COMPLEMENTARES DE CASA 
 
01) UNESP - A expressão 
i i i i.( ).( ).( )− − −1 2 3
10
 , onde i é a unidade imaginária, é igual a: 
 a) 1 
 b) i 
 c) -1 
 d) -i 
 e) n. d. a. 
 
02) UC-MG - o número complexo Z, tal que 5.Z + Z = 12 + 16.i , é igual a: 
 a) -2 + 2i 
 b) 2 - 3.i 
 c) 1 + 2.i 
 d) 2 + 4.i 
 e) 3 + i 
03) U.F.-BA - Qual o valor de m , real , para que o produto (2 + m.i).(3 + i) seja imaginário puro? 
 a) 5 
 b) 6 
 c) 7 
 d) 8 
 e) 10 
 
04) PUC-SP - Se f ( z ) = z2 - z + 1 , então f ( 1 - i ) é igual a: 
 a) i 
 b) -i + 1 
 c) i - 1 
 d) i + 1 
 e) -i 
05) VIÇOSA-MG - A parte real do número complexo 
2 3
2 3
+
−
.
.
i
i
 é: 
 a) -2/13 
 b) -5/13 
 c) -1/13 
 d) -4/13 
 e) -3/13 
06) MACK-SP - O conjugado de 
2 − i
i
 vale: 
 a) 1 - 2.i 
 b) 1 + 2.i 
 c) 1 + 3.i 
 d) -1 + 2.i 
 e) 2 - i 
 
07) FGV-SP - Sendo i unidade imaginária, o valor de 
1
1
4
+
−






i
i
é: 
 a) 1 
 b) i 
 c) -1 
 d) -i 
 e) 2.i 
 
 GABARITO: 01) c 02) d 03) b 04) e 05) b 06) d 07) a 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES PARA CASA 
 
01) Sendo Z = 3
4 4
. cos .sen
π π
+





i , calcule Z4 
 R: - 81 
 
02) Calcule − +






1
2
3
2
100
.i 
 R: − +






1
2
3
2
.i 
03) CESGRANRIO - Qual o valor de 
1
2
3
2
3
−





.i 
 R: - 1 
 
04) UF-PE - Indique o valor do módulo do número complexo Z = 
2 2 3
1
21
10
.i
i
+
−
 
 R: 2 
 
05) FESP-SP - Qual o valor do módulo de 
( )
.
1
3 4
2+
+
i
i
? 
 R: 2/5 
 
 
06) Resolver em C a equação x2 + 2x + 5 = 0 
 R: - 1 + 2.i ; - 1 - 2.i 
 
07) Resolvam em C as equações : 
 
 a) x2 - 6x + 10 = 0 R: ( 3 + i ) ; ( 3 - i ) 
 b) x2 - 2x + 2 = 0 R: ( 1 + i ) ; ( 1 - i ) 
 c) x2 - 4x + 5 = 0 R: ( 2 + i ) ; ( 2 - i ) 
 d) x2 - 8x + 17 = 0 R: ( 4 + i ) : ( 4 - i ) 
 
 
08) Dado o número complexo i3z ++++==== qual é o menor valor inteiro n ≥ 1 para o qual zn é um número real. 
 R: 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS 
 
COMPLEXOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROF. A1000CAR