Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - Cálculo Integral

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1 - As integrais de funções possuem inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso primeiro contato com esses conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de movimento de corpos, trabalho de forças, volumes, pressões etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (F) A primitiva de f(x) = sen(x) é F(x) = cos(x) + C.
II. (F) A integral de uma função sempre é calculável em um intervalo, pois, diferentemente da derivada, é possível calcular uma área que seja um número real para qualquer função, mesmo que seja descontínua no ponto.
III. (F) A primitiva de g(x) = cos(x) é G(x) = sen(x).
IV. (V) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = 2cos(x) é igual a 0.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
RESPOSTA CORRETA = F, F, F, V.
2 - Existem diversas propriedades de integração, entre elas a de funções exponenciais, que são importantes funções que modelam fenômenos naturais, econômicos e sociais. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções exponenciais e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (V) A integral indefinida de f(x) = e^x + e^(2x) resulta na primitiva F(x) = (½)(e^x)(e^x + 2).
II. (V) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = (⅗)x no intervalo [1, e] é igual a 3/5.
III. (V) A função h(x) = e^x + x² apresenta apenas valores positivos de integral, qualquer que seja o intervalo de integração.
IV. (F) A integral indefinida de i(x) = 1/(2x+1) resulta na primitiva I(x) = ln(2x+1)/2 + C.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
RESPOSTA CORRETA = V, V, V, F.
3 - Existem inúmeros meios de se tentar mensurar uma área sob uma curva. Uma aproximação válida é dada pela igualdade a seguir, que faz essa mensuração por meio de retângulos. 

De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca dessa representação, analise as afirmativas a seguir:
I. ∆x refere-se a largura de cada retângulo.
II. O n tendendo ao infinito indica um crescente número de retângulos.
III. A multiplicação f(Xk)* ∆x equivale a área de um retângulo.
IV. Esse método mensura com exatidão a área sob a curva.
Está correto apenas o que se afirma em:
RESPOSTA CORRETA = I, II e III.
4 - O estudo das funções exponenciais e logarítmicas e suas propriedades têm fundamental importância para o Cálculo, pois essas funções descrevem uma série de fenômenos observados nas ciências naturais.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada como limite e seu uso em problemas da reta tangente e de velocidade instantânea, analise as afirmativas a seguir:
I. A integral de qualquer função exponencial é a própria função.
II. Diferentemente da derivada, a integral não pode ser calculada por meio de limites.
III.A integral de 4e^(2x) é igual a 2e^(2x).
IV.Os gráficos de f(x) = e^x e de g(x) = ln(x) são simétricos em relação à reta y = x.
Está correto apenas o que se afirma em:
RESPOSTA CORRETA = I, III e IV.
5 - O Teorema Fundamental do Cálculo uniu o Cálculo Integral ao Diferencial, possibilitando o cálculo de integrais definidas a partir da seguinte igualdade: 

Utilizando os seus conhecimentos acerca das integrais definidas e o Teorema Fundamental do Cálculo, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (V) Diferente das integrais indefinidas, as definidas resultam em uma resposta apenas, e não uma família de soluções.
II. (V) Esse teorema alia as antiderivadas às integrais.
III. (F) Para utilizá-lo, não é necessário definir os limites de integração.
IV. (V)  
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
RESPOSTA CORRETA = V, V, F, V.
6 - As funções logarítmicas, principalmente na base ‘e’, logaritmo denominado logaritmo natural, são muito recorrentes em aplicações da matemática no dia a dia. Portanto, entender a dinâmica dessa função, qual sua derivada e integral auxilia nos processos de manipulação das funções. Sabe-se que a relação do logaritmo natural com uma integral é dada pela integral indefinida:

Está correto apenas o que se afirma em:
RESPOSRTA CORRETA = I, II e IV.
7 - Funções exponenciais são importantes funções que modelam fenômenos naturais, econômicos e sociais e, por esse motivo, como sabemos que a derivada e a integral possuem significados práticos para esses modelos, o estudo do Cálculo se faz indispensável para a análise quantitativa e qualitativa desses fenômenos.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções exponenciais e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (V) A função f(x) = -e^(x) apresenta apenas valores negativos de integral, qualquer que seja o intervalo de integração.
II. (V) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = 4/x no intervalo [1, e] é igual a 4.
III. (F) A integral indefinida de h(x) = 2e^(2x) resulta na primitiva H(x) = 4e^(2x).
IV. (F) A integral indefinida de i(x) = x³ + e^x resulta na primitiva I(x) = 3x^4 + e^x + C.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
RESPOSTA CORRETA = V, V, F, F.
8 - O estudo acerca das integrais é fundamental para alunos que estudam Cálculo. Por meio delas, tem-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos, portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração indefinida, analise as afirmativas a seguir:
I. Uma Integral indefinida é delimitada na forma  .
II. As integrais indefinidas dão somente uma resposta específica, ou seja, só há uma resposta possível.
III. Com a integração indefinida, é possível calcular o valor da integral em um determinado ponto.
IV. A constante adicionada ao final da integração indica que há uma família de respostas possível para o cálculo.
Está correto apenas o que se afirma em:
RESPOSTA CORRETA = I e IV.
9 - As funções trigonométricas, ou aquelas chamadas de funções circulares, são definidas a partir do círculo trigonométrico. Elas possuem um caráter periódico e suas variáveis e integrais estão relacionadas entre si.
Com base no seu conhecimento acerca das integrais das funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (V) A integral do seno relaciona-se com o cosseno.
II. (V) A integral da tangente relaciona-se com a secante.
III. (F) A derivada primeira e a integral do seno são iguais.
IV. (V) Ao integrar duas vezes a função seno, obtém-se –sen(x).
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
RESPOSTA CORRETA = V, V, F, V.
10 - Funções exponenciais e logarítmicas têm comportamentos peculiares quando comparadas, já que a potência e o logaritmo são operações inversas, de forma que, quando aplicamos um expoente a uma base, calculamos o resultado por meio de uma multiplicação, enquanto, quando aplicamos o logaritmo de uma determinada base a um logaritmando, o resultado é o expoente a que se eleva essa base para chegarmos ao logaritmando.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = e^x e g(x) = ln(x) e também seus conhecimentos sobre as derivadas e integrais desses tipos de funções, é correto afirmar que:
RESPOSTA CORRETA = No intervalo 0 < x < 1, a integral de f(x) é positiva e a de g(x) é negativa.