Compilado AV2 Calculo integral

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Pergunta 1 -- /1
Existem diversas interpretações para as derivadas, tanto do ponto de vista geométrico quanto algébrico. As 
funções polinomiais são as mais simples para efetuar a derivação. Saber calculá-las é fundamental para a 
apreensão dos conceitos do Cálculo diferencial e integral.
Utilizando essas informações e seus conhecimentos acerca das derivadas, analise as afirmativas a seguir:
I. A derivada de f(x) = x+2 é 1.
II. Pode-se calcular a derivada de f(x) = 2x+2/x²-3x pela regra do quociente.
III. O sinal positivo da derivada indica sua relação com um crescimento, o contrário indicaria um decrescimento.
IV. A derivada de uma função composta é calculada pela regra do tombo.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e III.
I e III.
II, III e IV.
I e II.
Resposta corretaI, II e III.
Pergunta 2 -- /1
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O estudo dos diferentes tipos de funções é fundamental para um estudante de exatas. Saber suas 
particularidades, definições e significados multifacetados é como aprender palavras para um novo idioma, que 
no caso é o da matemática. As funções explícitas e implícitas compõem um pouco desse campo de estudo, e 
são fundamentais para o desenvolvimento do Cálculo.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as definições e propriedades das funções 
implícitas e explícitas, analise as afirmativas a seguir.
I. As funções explicitas são meramente algébricas.
II. Existem funções implícitas que podem ser reescritas como funções explícitas.
III. Uma função implícita pode ser representada por mais de uma função explícita.
IV. x squared plus y squared equals 1 está na forma de uma função implícita
Está correto apenas o que se afirma em:
III e IV.
I, II e IV.
II e IV.
I, III e IV.
Resposta corretaII, III e IV.
Pergunta 3 -- /1
O número de Euler possui diversas aplicações em ciências, como a Biologia, a Química e a Física, por 
exemplo. 
Com base nessas informações e em seus conhecimentos sobre a relação entre limites exponenciais e o número 
de Euler, analise as afirmativas a seguir, com relação à veracidade das equivalências, e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) lim(1+1/x)^x = 1/e.
II. ( ) O número de Euler é maior que o número racional 2,72.
III. ( ) lim(1+1/x)^7x, com x tendendo ao infinito vale e^7
IV. ( ) lim(1 + h)^(1/h) = e com h tendendo a zero.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, F, F, F.
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F, F, V, F.
V, V, V, F.
Resposta corretaF, F, V, V.
V, F, V, V.
Pergunta 4 -- /1
Os logaritmos têm aplicações extremamente úteis para nossa sociedade. A escala Richter, responsável por 
mensurar a força destruidora de terremotos, é mensurada por meio logaritmos. Além disso, a datação de 
carbono-14, que funciona como um registro histórico do tempo de vida de um objeto ou ser, também é feita a 
base de logaritmos. Conhecer sua definição e suas propriedades é extremamente relevante para a formação de 
um profissional com perfil de exatas.
Com base nessas informações e nos conhecimentos acerca da definição e das propriedades dos logaritmos, 
analise as afirmativas a seguir.
I. Existe uma relação entre funções exponenciais e funções logarítmicas.
II. log(c.b) = log(c) + log (b).
III. 
log subscript e left parenthesis b right parenthesis space equals space x space rightwards double arrow space 
ln left parenthesis b right parenthesis space equals space x
IV. O logaritmo na base 10 é chamado de logaritmo natural.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e III.
III e IV.
Resposta corretaI, II e III.
I e II.
II, III e IV.
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Pergunta 5 -- /1
A diferenciação implícita é um método de derivação para certos tipos de funções, isto é, as que não se consegue 
isolar o valor de uma de suas variáveis. É necessário conhecer as aplicações e propriedades desse tipo de 
derivação.
Utilizando essas informações e seus conhecimentos acerca dessas derivadas, analise as afirmativas a seguir:
I. Quando se deriva implicitamente, deve-se derivar ambos os lados da igualdade.
II. Ao derivar implicitamente, utiliza-se a regra da cadeia.
III. Derivar implicitamente não exclui a necessidade de utilizar outros métodos de derivação.
IV. A derivação implícita sempre resultará em valores positivos.
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta corretaI, II e III.
I e II.
II e III.
II, III e IV.
III e IV.
Pergunta 6 -- /1
O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em física ele é utilizado 
para descrever as equações horárias de movimento, que são funções polinomiais. Considere que a derivada da 
equação horária do movimento, S’(t), é igual à equação horária da velocidade, v(t), e a derivada segunda da 
equação horária do movimento, S’’(t), é a equação horária da aceleração, a(t). 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, analise as afirmativas a seguir:
I. Em movimentos nos quais a v(t) é uma função constante, S(t) também é constante.
II. Para equações horárias de 2ºgrau, a’(t) = constante.
III. Se S(t) = x³ + 2x² + 2, no instante 3s a velocidade é de 39m/s.
IV. Em movimentos nos quais v(t) é uma função de primeiro grau crescente, S(t) é uma função quadrática e a 
aceleração é variável.
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Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e III.
I, II e IV.
II e IV.
III e IV.
Resposta corretaII e III.
Pergunta 7 -- /1
O número de Euler é uma constante extremamente importante para muitas aplicações matemáticas. Esse 
número também é a base do logaritmo natural ou neperiano e possui diversas propriedades singulares.
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca do número de Euler e do logaritmo natural, 
analise as afirmativas a seguir:
I. As propriedades básicas que valem para um logaritmo de base 10 também valem para um logaritmo de base 
e.
II. f(x)= e^x é uma função exponencial.
III. ln(c) não está definido quando c é um número negativo.
IV. ln(0) = 1.
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta corretaI, II e III.
II, III e IV.
II e III.
I e IV.
I, III e IV.
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Pergunta 8 -- /1
A independência algébrica de algumas funções delimita algumas categorias de funções. Saber reconhecer 
quando uma função é ou não algébrica auxilia em algumas manipulações matemáticas, tal como a derivação.
Tendo em vista os conhecimentos acerca das funções algébricas, analise as afirmativas a seguir:
I. As funções algébricas são aquelas definidas apenas pelas operações básicas da álgebra.
II. Existem funções explícitas não algébricas.
III. As funções transcendentes são funções algébricas.
IV. f(x) = ln(x) não é uma função algébrica.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e III.
Resposta corretaI, II e IV.
II, III e IV.
I, III e IV.
I e IV.
Pergunta 9 -- /1
Os logaritmos auxiliam, entre outras coisas, na resolução de equações exponenciais de uma maneira geral. 
Compreender algumas equivalências logarítmicas é extremamente útil para o processo de manipulação desses 
elementos matemáticos a fim de resolver tais equações. 
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as manipulações logarítmicas possíveis, 
analise as afirmativas a seguir com relação à veracidade das equivalências e assinale V para a(s) verdadeira(s) 
e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) log (27) = 3 log (3).
II. ( ) log(12) = log (3) + log(4).
III. ( ) 2log(2) = log(4).
IV. ( ) log(10) = 2log(100) – log(10).
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Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, F, V, V.
Resposta corretaV, V, V, F.
V, F, V, F.
V, V, F, F.
F, V, F, V.
Pergunta 10 -- /1
As manipulações algébricas são extremamente importantes para a resolução de problemas matemáticos. 
Mudanças de perspectivas são necessárias na matemática, muitas vezes aplicadas para testarabordagens 
diferentes sobre o mesmo problema. Transitar entre as definições explicitas e implícitas de uma função é uma 
manipulação algébrica importante para a resolução de alguns problemas.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as definições e propriedades das funções 
implícitas e explícitas, e a possibilidade de reescrita entre elas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) y=2x+1 →y-2x=1. Forma explicita → forma implícita.
II. ( ) ln(x) + x = y→ ln(x) + x – y = 0. Forma explicita → forma implícita.
III. ( ) x² + y³ = 0 → y³ =-x². Forma implícita → forma explícita.
IV. ( ) y-x=3 → y= 3+x. Forma implícita → forma explícita.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, F, V, F.
V, V, F, F.
F, F, V, V.
V, V, V, F.
Resposta corretaV, V, F, V.
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Pergunta 1 -- /1
No estudo de funções compostas, percebemos que é possível a imagem de uma função ser o domínio de outra, 
e a notação que temos para descrever esse tipo de funções é H(x) = f(g(x)). Vimos ao longo do curso que existe 
uma regra para derivar esse tipo de função, chamada regra da cadeia, em que derivamos f(g(x)), considerando o 
argumento g(x) constante, e multiplicamos pela derivada de g(x), isto é, H’(x) = f’(g(x))*g’(x).
Dadas as funções f(x) = sen(5x+2) e g(x) = 3cos(2x+5) e utilizando seus conhecimentos sobre derivadas de 
funções circulares, analise as afirmativas a seguir:
I. A derivada de g(x) é igual a 6sen(2x+5).
II. A função H(x) = z(w(x)), onde z(x) = sen(x) e w(x) = cos(2x), tem derivada H’(x) = −sen(2x)*cos(cos(2x)).
III. A derivada de f(x) é igual a 5sen(5x+2)*cos(x).
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a −6sen(2x)*cos(3cos(2x) + 5).
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV
Resposta corretaI e IV.
II, III e IV.
II e III.
I e III.
Pergunta 2 -- /1
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Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. Ou seja, tendo uma 
função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x). A esta constatação damos o nome de Teorema 
Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a derivada significa uma taxa de variação, ou seja, um coeficiente 
angular de uma reta tangente à curva em um dado ponto da função, enquanto a integral representa a área sob a 
curva do gráfico da função em um intervalo definido.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e as 
propriedades de derivação e integração, analise as afirmativas a seguir.
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − sen(x).
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão obtida por 9 vezes, 
obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem.
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x).
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV.
I e II.
I e III.
II e III.
Resposta corretaI, II e III.
Pergunta 3 -- /1
De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e a derivada são operações 
contrárias. As integrais indefinidas são extremamente importantes para a determinação da função primitiva F(x), 
que é obtida realizando a integração da função de interesse f(x), sendo que, da mesma forma, derivando-se a 
primitiva F(x), obtemos novamente a f(x).
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais definidas, analise as afirmativas a 
seguir.
I. A propriedade 
integral x to the power of n d x space equals space fraction numerator x to the power of n plus 1 end exponent 
over denominator n plus 1 end fraction space plus space c
 define uma regra para integração de polinômios.
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II. As integrais indefinidas podem delimitar várias famílias de respostas para o problema de função primitiva.
III. Uma integral indefinida é delimitada a partir de uma função primitiva.
IV. integral space x to the power of 4 minus x cubed space d x é um exemplo de integral definida.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e IV.
II e III.
II, III e IV.
I, III e IV.
Resposta corretaI, II e III.
Pergunta 4 -- /1
Os conhecimentos acerca do significado geométrico das operações de derivada e integral são muito úteis para 
resolvermos uma série de problemas difíceis de aplicações práticas em Engenharia. Mensurar áreas e encontrar 
a inclinação da reta tangente são funções de derivadas e integrais. Saber distingui-las é essencial.
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica dos conceitos estudados em Cálculo 
Diferencial e integral, associe os itens a seguir com seus respectivos significados:
1. Integral definida.
2. Limites fundamentais.
3. Derivada da função no ponto.
4. Diferencial.
( ) São expressões algébricas para as quais temos um resultado notavelmente conhecido.
( ) Área abaixo da curva em uma região delimitada.
( ) É uma parte infinitesimal de uma variável.
( ) Coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta correta1, 4, 2, 3.
2, 1, 3, 4.
3, 4, 2, 1.
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1, 2, 4, 3.
1, 2, 3, 4.
Pergunta 5 -- /1
Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de cálculo integral, já que este valor possui 
um significado prático para análise da curva do gráfico de uma determinada função que indica uma taxa de 
variação instantânea. Isso pode significar encontrar uma taxa de variação referente a outra função ou algo 
similar, o que implica na possibilidade de se aplicar a operação reversa à derivada.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral indefinida, pode-se afirmar que aplicar a 
operação inversa à derivada é relevante porque:
passa a ser possível derivar outros tipos de funções.
tem uma interpretação geométrica diferente da derivada.
vale para qualquer tipo de função e intervalo.
elimina indeterminações em que a regra de L’Hospital falha.
Resposta correta
permite determinar a função primitiva de uma derivada, ou seja, a função que a 
gerou.
Pergunta 6 -- /1
O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de funções. 
A inclinação da reta tangente à curva é definida pela derivada da função, e a integral da função mensura a área 
abaixo da curva que a descreve.
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Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com base nos seus conhecimentos 
acerca de funções e interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise 
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer ponto é igual a 2.
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e pelo 
gráfico de g(x).
III. ( ) h(x) é uma função.
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta corretaV, F, V, V.
V, V, F, F.
V, F, V, F.
F, F, V, V.
V, V, V, F.
Pergunta 7 -- /1
Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como aplicá-lo através de manipulações das 
expressões matemáticas pode salvar muito tempo durante a resolução de exercícios, já que nem sempre é 
prático deduzir todos os resultados decorrentes da manipulação de funções trigonométricas, de forma que este 
limite e a regra de L’Hospital servem como importantes ferramentas para resolver limites que recorrem em 
indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito em poucos passos.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e a regra de 
L’Hospital, analise asafirmativas a seguir.
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero.
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x).
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n.
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x).
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta corretaI, II e III.
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II e III.
I e IV.
II, III e IV.
I, II e IV.
Pergunta 8 -- /1
A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de indeterminações. Com essa regra 
tenta-se resolver o que não é solucionável apenas com a aplicação de um limite. Ela pode ser aplicada, também, 
inúmeras vezes, caso as indeterminações se mantenham, até o momento em que cessam.
Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre a regra de L’Hospital, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):
I. ( ) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra.
II. ( ) Em determinações do tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital.
III. ( ) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de L’Hospital.
IV. ( ) A sua aplicação envolve um processo de integralização.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, V, V, F.
Resposta corretaF, V, V, F.
F, F, V, V.
F, F, F, V.
V, V, F, V.
Pergunta 9 -- /1
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O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em física, é utilizado para 
descrever as equações horárias de movimento, que são funções polinomiais. Essas funções polinomiais podem 
ser integradas e derivadas conforme o estudo de cálculo integral para, a partir daí, obter outros conhecimentos.
Considere que a integral da equação horária da aceleração a(t) é igual à equação horária da velocidade v(t), e a 
integral desta é igual à equação horária do movimento S(t). Considerando essas informações e o conteúdo 
estudado sobre derivação, analise as afirmativas a seguir.
I. Em movimentos em que a(t) é uma função constante e não nula, S(t) é uma função do primeiro grau.
II. Para a função horária S(t) = cos(x), a aceleração a(t) também é a(t) = cos(x).
III. Se a velocidade de um corpo é de 4 m/s e constante, pode-se afirmar que S(t) é uma função do primeiro 
grau.
IV. Dada a equação horária da posição S(t) = x² + 2x − 3, tem-se que v(2) = 6m/s e que a aceleração é constante 
e vale 2m/s².
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e IV.
Resposta corretaIII e IV.
II e IV.
I, II, III.
II, III.
Pergunta 10 -- /1
A regra de L’Hospital é muito utilizada para tratar de alguns limites específicos. Ela auxilia no entendimento de 
algumas funções e na eliminação de inconsistências, que ocorrem em casos onde, ao substituir os valores de x 
de uma função pelo valor ao qual x tende no cálculo do limite, encontramos expressões da forma 0/0, por 
exemplo.
Considerando essas informações e os estudos acerca da definição da regra de L’Hospital e suas propriedades, 
analise as afirmações a seguir:
I. Ela pode ser aplicada inúmeras vezes sobre uma razão se a indeterminação 0/0 ou infinito/infinito ainda estiver 
valendo.
II. Existem funções que têm a indeterminação, mas o L’Hospital não as resolve.
III. A regra é aplicada por um processo de derivação.
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IV. L’Hospital elimina quaisquer indeterminações.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e IV.
I e II.
II e III.
III e IV.
Resposta corretaI, II e III.
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Pergunta 1 -- /1
As funções logarítmicas, principalmente na base ‘e’, logaritmo denominado logaritmo natural, são muito 
recorrentes em aplicações da matemática no dia a dia. Portanto, entender a dinâmica dessa função, qual sua 
derivada e integral auxilia nos processos de manipulação das funções. Sabe-se que a relação do logaritmo 
natural com uma integral é dada pela integral indefinida:
integral 1 over x d x space equals space ln space open vertical bar x close vertical bar space plus space C
Com base nos seus conhecimentos de integrais logarítmicas e as informações do texto, analise as afirmativas a 
seguir:
I. Essa relação resolve um problema de derivação/integração da função polinomial x^(-1).
II. Calcula-se integral 2 over x d x aplicando essa relação, e obtém-se 
2 space i n space open vertical bar x close vertical bar space plus space C .
III.Essa função é definida para quando x = 0.
IV. Calcula-se integral fraction numerator x squared plus x plus 2 over denominator x end fraction d x 
aplicando essa relação, e obtém-se 
x squared over 2 space plus space x space plus space 2 left parenthesis ln open vertical bar x close vertical 
bar right parenthesis space plus space C
.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e II.
II e III.
I e III.
Resposta corretaI, II e IV.
II e IV.
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Pergunta 2 -- /1
O estudo das funções exponenciais e logarítmicas e suas propriedades têm fundamental importância para o 
Cálculo, pois essas funções descrevem uma série de fenômenos observados nas ciências naturais.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada como limite e seu uso 
em problemas da reta tangente e de velocidade instantânea, analise as afirmativas a seguir:
I. A integral de qualquer função exponencial é a própria função.
II. Diferentemente da derivada, a integral não pode ser calculada por meio de limites.
III.A integral de 4e^(2x) é igual a 2e^(2x).
IV.Os gráficos de f(x) = e^x e de g(x) = ln(x) são simétricos em relação à reta y = x.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e III.
I, e IV.
Resposta corretaII, III e IV.
II e IV.
II e III.
Pergunta 3 -- /1
As funções trigonométricas, ou aquelas chamadas de funções circulares, são definidas a partir do círculo 
trigonométrico. Elas possuem um caráter periódico e suas variáveis e integrais estão relacionadas entre si.
Com base no seu conhecimento acerca das integrais das funções trigonométricas, analise as afirmativas a 
seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral do seno relaciona-se com o cosseno.
II. ( ) A integral da tangente relaciona-se com a secante.
III. ( ) A derivada primeira e a integral do seno são iguais.
IV. ( ) Ao integrar duas vezes a função seno, obtém-se –sen(x).
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Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, F, V, F.
V, F, F, V.
F, V, F, F.
F, F, V, V.
Resposta corretaV, V, F, V.
Pergunta 4 -- /1
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a atribuir valores 
positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como 
integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida, precisamos analisar a continuidade 
da função. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas de funções circulares, 
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [π/3, π/2] é igual a 1.
Porque:
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por substituição de sen(x) por outra variável ou 
então reescrevendo a função como f(x) = (1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) = cossec(x)cotg(x), cuja primitiva pode ser 
consultada em uma tabela de integração, sendo F(x) = -cossec(x) + C. Então, basta calcular F(π/2) – F(π/3).
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
Resposta corretaA asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I. 
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Pergunta 5 -- /1
As funções exponenciais e logarítmicas estão ligadas, uma é inversa da outra. Apesar de serem inversas, o 
logaritmo natural está presente na integral de uma função exponencial qualquer. A relação de ambos se dá da 
seguinte forma:
integral a to the power of x space d x space equals space fraction numerator a to the power of x over 
denominator ln space open vertical bar a close vertical bar end fraction space plus space C
Utilizando seus conhecimentos sobre as integrais logarítmicas e exponenciais, analise as afirmativas a seguir:
I. Ao calcular por essa relação, obtém-se 
fraction numerator a to the power of x over denominator ln space open vertical bar 3 close vertical bar end 
fraction space plus space C
II. O a pode assumir qualquer valor real.
III. Ao calcular por essa relação, obtém-se 
fraction numerator 5 to the power of x over denominator ln space open vertical bar 5 close vertical bar end 
fraction space plus space C
IV.Ao calcular por essa relação, obtém-se 
fraction numerator 25 to the power of x over denominator ln space open vertical bar 25 close vertical bar end 
fraction space plus space C
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e IV.
III e IV.
II e IV. 
Resposta corretaI, III e IV.
I, II e III.
Pergunta 6 -- /1
SJ
 
SJ
 
SJ
 
SJ
 
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As integrais de funções têm inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso primeiro contato com esses 
conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de movimento de corpos, trabalho de forças, volumes, 
pressões etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus 
conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral definida de uma função no intervalo [a,b] pode ser calculada dividindo a figura formada pela curva 
e o eixo x no maior número possível de retângulos de mesmo comprimento e somando as áreas dos mesmos.
II. ( ) A integral de e(x) = x² definida no intervalo [0,9] é igual a 243.
III. ( ) A integral definida de f(x) no intervalo [a,b] é dada por A1 – A2, onde A1 é a área entre a curva e o eixo x 
nas regiões onde f(x) > 0 e A2 é área das regiões onde f(x) < 0.
IV. ( ) A integral de g(x) = |x| no intervalo [-10,10] é igual a 0, pois essa é uma função par.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
F, V, F, V.
F, F, V, F.
V, V, F, F.
Resposta corretaV, V, V, F.
V, F, F, V.
Pergunta 7 -- /1
No cálculo de integrais definidas de funções, após fazer a integral indefinida da função, é necessário substituir 
os limites do intervalo na fórmula da primitiva e realizar um cálculo. E isso significa calcular a área entre a curva 
da função e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integração de funções polinomiais, analise as 
asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A primitiva da função f(x) = 2x + 1 é F(x) = x(x + 1) + C, e a integral definida no intervalo [1,2] vale 4.
Porque:
II. A integral de f(x) num intervalo [a,b] qualquer equivale à área definida pelo eixo x, pelas retas y = a, y = b e 
pela curva dessa função, e esse valor equivale a F(b) – F(a).
A seguir, assinale a alternativa correta.
Ocultar opções de resposta 
Resposta corretaA asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
Pergunta 8 -- /1
O estudo acerca das integrais é fundamental para alunos que estudam Cálculo. Por meio delas, tem-se uma 
medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos, portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração indefinida, analise as afirmativas 
a seguir:
I. Uma Integral indefinida é delimitada na forma 
integral f left parenthesis x right parenthesis space asterisk times space d x space equals space F left 
parenthesis x right parenthesis space plus space C
.
II. As integrais indefinidas dão somente uma resposta específica, ou seja, só há uma resposta possível.
III. Com a integração indefinida, é possível calcular o valor da integral em um determinado ponto.
IV. A constante adicionada ao final da integração indica que há uma família de respostas possível para o cálculo.
Está correto apenas o que se afirma em:
II, III.
I, II, III.
I, II e IV.
Resposta corretaI e IV.
II e IV.
SJ
 
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Pergunta 9 -- /1
O estudo acerca das funções exponenciais é extremamente relevante para o estudante de exatas, ainda mais 
aquele que busca aplicações no dia a dia. Compreender algumas operações, tais como derivada e integral, 
passa a ser essencial para o desenvolvimento desse aluno.
Com base nos seus conhecimentos acerca das integrais exponenciais, associe os itens a seguir com os 
significados descritos:
1) Integral exponencial geral.
2) Integral exponencial.
3) Integral com número de Euler na base.
4) Função exponencial.
( ) 
integral space a to the power of x space d x space equals space fraction numerator a to the power of x over 
denominator ln open vertical bar a close vertical bar end fraction plus space C
( )
integral space a to the power of x space d x space equals space fraction numerator a to the power of d x end 
exponent over denominator d ln open vertical bar a close vertical bar end fraction plus space C
 , em que d é uma constante.
( ) 
f left parenthesis x right parenthesis space equals space a to the power of x space end exponent comma 
space o n d e space to the power of a space element of space straight real numbers end exponent
 
( ) 
integral space e to the power of d x end exponent d x space equals space e to the power of d x end exponent 
over d space plus space C
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
2, 1, 3, 4.
Resposta correta2, 1, 4, 3.
1, 2, 3, 4.
1, 2, 4, 3.
3, 4, 2, 1.
Pergunta 10 -- /1
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g
Conseguir identificar integrais, sendo elas definidas ou não, é fundamental nos estudos de Cálculo pelas 
limitações teóricas que cada uma impõe. Em uma situação aplicada, a integral definida funciona como uma 
ferramenta de mensuração de área para uma determinada curva, já a integral indefinida consegue identificar 
uma família de soluções para uma determinada situação.
Com base no seu conhecimento acerca dessas integrais, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):
I. ( ) integral space 5 to the power of x space d x é uma integral indefinida.
II. ( ) integral space 3 to the power of x space d x é uma integral definida.
III. ( ) integral subscript 0 superscript 1 space 2 x cubed space plus space 2 x d x é uma integral definida.
IV. ( ) 
integral subscript a superscript b f left parenthesis x right parenthesis d x space equals space F left 
parenthesis b right parenthesis space minus space F left parenthesis a right parenthesis
é uma integral definida.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, V, V, F.
V, F, F, F.
F, F, V, V.
Resposta corretaV, F, V, V.
V, V, F, F
Conteúdo do exercício
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Pergunta 1 -- /1
As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com integrandos que 
são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir os argumentos dessas raízes por algumas funções 
trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e tg(x).
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de substituições 
trigonométricas e dosconceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com os 
processos de substituição descritos:
1) x²/√(4 – x²).
2) 1/√(16 + x²).
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16).
4) (x² – 16).
( ) Substituição x = 2sen(w).
( ) Substituição x = 4sec(w).
( ) Substituição x = 4tg(w).
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
2, 3, 1, 4.
1, 4, 3, 2.
Resposta correta1, 4, 2, 3.
2, 1, 3, 4.
1, 3, 2, 4.
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Pergunta 2 Crédito total dado -- /1
As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de uma integral indefinida, onde 
muitas vezes não há um passo direto para encontrarmos a primitiva F(x) de uma certa função f(x). Dessa forma, 
dependendo do arranjo algébrico dos termos de f(x), decidimos por diferentes técnicas de integração, como o 
método da substituição, o da integração por partes, o das frações parciais, e etc.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida pelo método de 
integração por partes e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir 
e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra da integração por partes, por se 
tratar do produto de duas funções.
II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula: 
integral f left parenthesis x right parenthesis space g space apostrophe left parenthesis x space right 
parenthesis d x space equals space f left parenthesis x right parenthesis space g space left parenthesis x right 
parenthesis space minus integral g left parenthesis x right parenthesis space f apostrophe left parenthesis x right 
parenthesis d x plus C
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C.
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é aproximadamente igual a 6,28.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
F, V, F, V.
Resposta corretaF, V, V, V.
V, V, F, F.
V, F, F, V.
F, F, V, F.
Pergunta 3 -- /1
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O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no que diz respeito à integração de 
funções mais complexas do que as habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste 
em substituir um dos termos por uma função trigonométrica, para que se encontre alguma identidade que 
simplifica a expressão, possibilitando a sua integração. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por substituições 
trigonométricas, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada pelo método da substituição 
trigonométrica, por meio da substituição x = 2sec(w).
Porque:
II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e com x = 2sec(w), temos que √(x²+4) = 
√[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e como sec²(w) + 1 = tg²(w), √(x²+4) = 2tg(w). Substituindo na fórmula inicial e 
integrando, encontramos a expressão dada.
Agora, assinale a alternativa correta:
Resposta corretaAs asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
Pergunta 4 -- /1
Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica de sua integral. Utiliza-
se o recurso de substituição para conseguir evidenciar algum termo que possua integração mais simples, e isso 
ocorre, por exemplo, em integrais de funções com raízes, nas quais nos valemos, muitas das vezes, de 
identidades trigonométricas.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus conhecimentos sobre o 
método da integração por substituições trigonométricas desses tipos de funções, é correto afirmar que:
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no 
intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 3pi/2].
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ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no 
intervalo [-pi/2, pi/2].
Resposta corretaf(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w).
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w).
ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais
Pergunta 5 -- /1
Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral reescrevendo as integrais 
complexas em integrais mais simples e facilmente solucionáveis.
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de integração, associe os itens a 
seguir com os significados descritos:
1) Integração por partes.
2) Integração por substituição trigonométrica.
3) Integração por frações parciais.
4) Integração por substituição u du.
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de integrais.
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções.
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos.
( ) Utilizado para integração de funções racionais.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta correta4, 1, 2, 3.
2, 1, 3, 4.
1, 2, 4, 3.
1, 2, 3, 4.
3, 4, 2, 1.
Ocultar opções de resposta 
Pergunta 6 -- /1
O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental importância no que diz 
respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de 
integração. Esse método consiste em reescrever a função como a soma de frações cujos denominadores são 
fatores do denominador original e, apenas após isso, realizar a integração de fato.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por frações parciais, 
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser calculada pelo método da 
integração de frações parciais.
Porque:
II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos essas divisões polinomiais, 
obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-1), para então integrar utilizando a regra da integral da 
soma de vários termos.
Agora, assinale a alternativa correta:
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
Resposta correta
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da 
I. 
As asserções I e II são proposições falsas.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
Pergunta 7 -- /1
O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e complexos métodos. 
Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de funções trigonométricas específicas para a 
eliminação de uma estrutura determinada do integrando.
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale 
V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
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I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando.
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis.
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução desse método.
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, F, F, F.
V, V, V, F.Resposta corretaV, V, F, V.
F, F, V, V.
V, V, F, F.
Pergunta 8 -- /1
Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou seja, auxiliam na resolução 
daqueles que não podem ser facilmente determinada pelo conhecimento de algumas derivadas e antiderivadas. 
Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido como integral por partes.
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo com a 
sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração:
( ) Orientar-se pelo LIATE.
( ) Determinação de du e v.
( ) Identificar os tipos de funções.
( ) Substituição do u e dv.
( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
2, 4, 1, 5, 3.
2, 1, 3, 4, 5.
Resposta correta2, 4, 1, 3, 5.
3, 4, 2, 1, 5.
Ocultar opções de resposta 
5, 2, 3, 4, 1.
Pergunta 9 -- /1
Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes de Cálculo Integral. 
Esses métodos possibilitam a reescrita de algumas integrais que, sem eles, não seriam resolvidas. Um dos 
métodos importantes de integração é o método conhecido como frações parciais.
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo com a 
sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração:
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os cálculos dessas integrais.
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial.
( ) Substituir os valores nas integrais.
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações.
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
5, 2, 3, 4, 1.
3, 4, 2, 1, 5
Resposta correta5, 1, 4, 2, 3.
2, 4, 1, 5, 3.
2, 1, 3, 4, 5.
Pergunta 10 -- /1
Ocultar opções de resposta 
O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio delas, obtém-se uma 
medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos. Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. 
Existem inúmeros métodos de integração, cada um para um fim definido. O método de integração por partes é 
um deles, e é extremamente útil para a integração de uma categoria de funções.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por partes, analise as 
afirmativas a seguir:
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções.
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das derivadas, realizando 
manipulações algébricas e integrando ambos lados da igualdade.
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv em outra em termos de du 
e um termo independente de integral.
IV. A função cos(x) é integrável por esse método.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e III.
I, II e IV.
I, III e IV.
II e IV.
Resposta corretaI, II e III.
 
 
1 
Conteúdo do exercício 
Pergunta 1 
De acordo com o teorema fundamental do cálculo. se f for integrável em [a. bJ e se F for uma primitiva de f em [a. bJ. então 
b f t(x)dx = F(b)- F(a) . Sendo assim. utilize o teorema e determine a área da região do plano. limitado pelas retas x=O. x=1, y=O e pelo 
o 
gráfico de f(x)= x2• Depois. marque a alternativa correta. 
1 
® 1 1 3 
® 1 2 
© 3 2 
® ..fi 2 
© 3 4 
Pergunta 2 
Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x,y), compreendidos entre os gráficos de y=x e y= x2• com O $X $2. 
0 2/3 
® 1/3 
© -2/3 
® -1 
I® 1 
Pergunta 3 
4 
Calcule a área representada pela integral definida: A = J 2./x dx 
1 
0 28/3 
1 
® 23/8 
© 25/3 
® 4/3 
© 24/5 
 
 
 
 
Pergunta 4 
Utilizando as propriedades do cálculo das integrais definidas, assinale a alternativa que apresenta a primitiva no respectivo intervalo. 
o 
sendo f(x)= J (2x + 5) dx . 
-2 
Pergunta 5 
f (t) _ 21
2 
- 31 + 1 f '( 1) 
Dada a função - e , encontre o valor para 
I® 
Pergunta 6 
Determine o centro de massa de uma região limitada pela reta y = 1 e pela parábola y = x2• Em seguida. assinale a alternativa correta. 
® (o,¾) 
® (1, ¾) 
© (1, ¾) 
® (¾, o) 
I® (1 , O) 1 
 
 
Pergunta 7 
Utilizando as técnicas de integração por substitu ição, determine J cos(7 e+ 3)d0. 
® cos(70 + 3) + e 
1 ® 
1 
7 sen(70 + 3) 1 
© sen(70 + 3) + e 
® 
1 
7 cos(70 + 3) + e 
© 
1 
3 sen(70 + 3) + e 
 
 
Pergunta 8 
Calcule e assinale a alternativa, que corresponde à área representada pela imagem a seguir: 
~ CAL. INT. - 2020.1B - (QUEST 24)_v1 .PNG 
® 9/2 
I® 45/2 1 
© 27/2 
® 9 
© 3 
Pergunta 9 
Um motociclista realiza um deslocamento sobre o eixo Ox com velocidade v(t)= t'- 2t-3, t ~ o. Calcule o espaço percorrido entre os 
instantes de t= O e t= 4. Depois, marque a alternativa correta. 
1 ° ',' 1 
®4 
© 15 
® 22 
© 7 2 
 
Pergunta 10 
Determine a primitiva da função f(x)= x' - senx 
@ F(X)=(x') - cosx+ K 
® F(x)= (x'/3) - cosx+ K 
© F(X)=(x') +senx+ K 
® F(x)= (x'/3) + cosx+ K 
© F(x)= (x'/3) - senx+ K 
 
 
1 
Conteúdo do exercício 
Pergunta 1 
De acordo com o teorema fundamental do cálculo. se f for integrável em [a. bJ e se F for uma primitiva de f em [a. bJ. então 
b f t(x)dx = F(b)- F(a) . Sendo assim. utilize o teorema e determine a área da região do plano. limitado pelas retas x=O. x=1, y=O e pelo 
o 
gráfico de f(x)= x2• Depois. marque a alternativa correta. 
1 
® 1 1 3 
® 1 2 
© 3 2 
® ..fi 2 
© 3 4 
Pergunta 2 
Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x,y), compreendidos entre os gráficos de y=x e y= x2• com O $X $2. 
0 2/3 
® 1/3 
© -2/3 
® -1 
I® 1 
Pergunta 3 
4 
Calcule a área representada pela integral definida: A = J 2./x dx 
1 
0 28/3 
1 
® 23/8 
© 25/3 
® 4/3 
© 24/5 
 
 
 
 
Pergunta 4 
Utilizando as propriedades do cálculo das integrais definidas, assinale a alternativa que apresenta a primitiva no respectivo intervalo. 
o 
sendo f(x)= J (2x + 5) dx . 
-2 
Pergunta 5 
f (t) _ 21
2 
- 31 + 1 f '( 1) 
Dada a função - e , encontre o valor para 
I® 
Pergunta 6 
Determine o centro de massa de uma região limitada pela reta y = 1 e pela parábola y = x2• Em seguida. assinale a alternativa correta. 
® (o,¾) 
® (1, ¾) 
© (1, ¾) 
® (¾, o) 
I® (1 , O) 1 
 
 
Pergunta 7 
Utilizando as técnicas de integração por substitu ição, determine J cos(7 e+ 3)d0. 
® cos(70 + 3) + e 
1 ® 
1 
7 sen(70 + 3) 1 
© sen(70 + 3) + e 
® 
1 
7 cos(70 + 3) + e 
© 
1 
3 sen(70 + 3) + e 
 
 
Pergunta 8 
Calcule e assinale a alternativa, que corresponde à área representada pela imagem a seguir: 
~ CAL. INT. - 2020.1B - (QUEST 24)_v1 .PNG 
® 9/2 
I® 45/2 1 
© 27/2 
® 9 
© 3 
Pergunta 9 
Um motociclista realiza um deslocamento sobre o eixo Ox com velocidade v(t)= t'- 2t-3, t ~ o. Calcule o espaço percorrido entre os 
instantes de t= O e t= 4. Depois, marque a alternativa correta. 
1 ° ',' 1 
®4 
© 15 
® 22 
© 7 2 
 
Pergunta 10 
Determine a primitiva da função f(x)= x' - senx 
@ F(X)=(x') - cosx+ K 
® F(x)= (x'/3) - cosx+ K 
© F(X)=(x') +senx+ K 
® F(x)= (x'/3) + cosx+ K 
© F(x)= (x'/3) - senx+ K 
 
 
1 
Conteúdo do exercício 
Pergunta 1 
De acordo com o teorema fundamental do cálculo. se f for integrável em [a. bJ e se F for uma primitiva de f em [a. bJ. então 
b f t(x)dx = F(b)- F(a) . Sendo assim. utilize o teorema e determine a área da região do plano. limitado pelas retas x=O. x=1, y=O e pelo 
o 
gráfico de f(x)= x2• Depois. marque a alternativa correta. 
1 
® 1 1 3 
® 1 2 
© 3 2 
® ..fi 2 
© 3 4 
Pergunta 2 
Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x,y), compreendidos entre os gráficos de y=x e y= x2• com O $X $2. 
0 2/3 
® 1/3 
© -2/3 
® -1 
I® 1 
Pergunta 3 
4 
Calcule a área representada pela integral definida: A = J 2./x dx 
1 
0 28/3 
1 
® 23/8 
© 25/3 
® 4/3 
© 24/5Pergunta 4 
Utilizando as propriedades do cálculo das integrais definidas, assinale a alternativa que apresenta a primitiva no respectivo intervalo. 
o 
sendo f(x)= J (2x + 5) dx . 
-2 
Pergunta 5 
f (t) _ 21
2 
- 31 + 1 f '( 1) 
Dada a função - e , encontre o valor para 
I® 
Pergunta 6 
Determine o centro de massa de uma região limitada pela reta y = 1 e pela parábola y = x2• Em seguida. assinale a alternativa correta. 
® (o,¾) 
® (1, ¾) 
© (1, ¾) 
® (¾, o) 
I® (1 , O) 1 
 
 
Pergunta 7 
Utilizando as técnicas de integração por substitu ição, determine J cos(7 e+ 3)d0. 
® cos(70 + 3) + e 
1 ® 
1 
7 sen(70 + 3) 1 
© sen(70 + 3) + e 
® 
1 
7 cos(70 + 3) + e 
© 
1 
3 sen(70 + 3) + e 
 
 
Pergunta 8 
Calcule e assinale a alternativa, que corresponde à área representada pela imagem a seguir: 
~ CAL. INT. - 2020.1B - (QUEST 24)_v1 .PNG 
® 9/2 
I® 45/2 1 
© 27/2 
® 9 
© 3 
Pergunta 9 
Um motociclista realiza um deslocamento sobre o eixo Ox com velocidade v(t)= t'- 2t-3, t ~ o. Calcule o espaço percorrido entre os 
instantes de t= O e t= 4. Depois, marque a alternativa correta. 
1 ° ',' 1 
®4 
© 15 
® 22 
© 7 2 
 
Pergunta 10 
Determine a primitiva da função f(x)= x' - senx 
@ F(X)=(x') - cosx+ K 
® F(x)= (x'/3) - cosx+ K 
© F(X)=(x') +senx+ K 
® F(x)= (x'/3) + cosx+ K 
© F(x)= (x'/3) - senx+ K 
 
 
 
 
 
Módulo C - 63326. 7 - Cálculo Integral - D.20212.C 
AV2 
Nm:a final 
~
T~11l:1tiv:11 
Enviado: 08/12,'~ 1 1 "'!:1 ;J (BRT: 
Pergunta 1 
[
4 2 +Sx 
Calcule e área representada pela integral definida: A - ~ dx 
1 y X 
0 82/3 
® fi1/7 
© 83/2 
® 80/3 
© 53/3 
Pergunta 2 
Utilizando a rEgra de L'.Hôpital, calcule o se.~uinte limite: •
1
im'J{ ➔ 1+X .ln:x) 
@ zero 
@ + oo 
© lnl2J 
Pergunta 3 
Determine a área da região rnmpreendida entre a parábola y=2-x2 e a reta y= -x.(sugestão: Esboce o grá'ko) 
0 9/2 
® S/2 
© 
® 8/3 
© 10/3 
.. .. 
 
 
 
 
 
 
 
Pergunta 4 
• De acordo com o teorema fundamental do cálculo, se f for integrável em [a, b] e se F for uma primitiva de f em [a, b], então Ía f(x)dx = F(b) - F(a)- Sendo assim, utilize o 
teorema e determine a integral de ri e..!.+ .!..cos 2x)dx- Em seguida, assinale a alternativa correta. 
J0 2 2 
© 
® 
ª" 2 
,f'i 
2 
©¾ 
Pergunta 5 
x5 - 6x3 + Bx - 3 
Determine pela primeira regra de L' Hospital ~i_'.;1
1 
x4 _ 
1 
@ -514 
® -512 
© 312 
® -312 
© 
Pergunta 6 
Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo Ox, atua uma força cuja componente na direção do deslocamento é f(x). Calcule o trabalh o realizado pela força 
quando a partícula se desloca de x= a até x=b, sendo dados: f(x)= -3x, a=- 1 e b= 1 
@61 
@21 
@11 
@31 
@ 01 
 
 
 
 
 
Pergunta 7 
Determine o volume de um sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y), de forma que 1 ~ x~ 3 e O ~y~ x. Em seguida, 
assinale a alternativa correta. 
~ 
3 
Pergunta 8 
Calcule a primitiva de y=(x3+ 3x-1 ). 
® 
© 
® 
x4 
4 + 3x + k 
x4 
--x + k 
4 
½ + x 2 + 3x + k 
Pergunta 9 
Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada da função g(x) = ln (sen(x2)) 
@ tg(x2 ) 
® 
cos(x') 
sen(x2) 
© zero 
® + 00 
© 2x cos(x') sen(x') 
 
 
Pergunta 10 
J x -13 Aplicando o método das frações parciais, encontre o resultado da integral: 2 dx X - x - 6 
@ 31n lx + 2l- 21n lx - 31 + e 
@ - 31nlxl- 21n lx - 3l+ C 
@ 31n lx + 21 + lnlx - 31 + C 
@ ln lx + 21 - ln lx l + C 
@ ln lx + 21+ 21nlx - 3l+ C 
Ativar o Windows 
 
 
 
 
 
Módulo C - 63326. 7 - Cálculo Integral - D.20212.C 
AV2 
Nm:a final 
~
T~11l:1tiv:11 
Enviado: 08/12,'~ 1 1 "'!:1 ;J (BRT: 
Pergunta 1 
[
4 2 +Sx 
Calcule e área representada pela integral definida: A - ~ dx 
1 y X 
0 82/3 
® fi1/7 
© 83/2 
® 80/3 
© 53/3 
Pergunta 2 
Utilizando a rEgra de L'.Hôpital, calcule o se.~uinte limite: •
1
im'J{ ➔ 1+X .ln:x) 
@ zero 
@ + oo 
© lnl2J 
Pergunta 3 
Determine a área da região rnmpreendida entre a parábola y=2-x2 e a reta y= -x.(sugestão: Esboce o grá'ko) 
0 9/2 
® S/2 
© 
® 8/3 
© 10/3 
.. .. 
 
 
 
 
 
 
 
Pergunta 4 
• De acordo com o teorema fundamental do cálculo, se f for integrável em [a, b] e se F for uma primitiva de f em [a, b], então Ía f(x)dx = F(b) - F(a)- Sendo assim, utilize o 
teorema e determine a integral de ri e..!.+ .!..cos 2x)dx- Em seguida, assinale a alternativa correta. 
J0 2 2 
© 
® 
ª" 2 
,f'i 
2 
©¾ 
Pergunta 5 
x5 - 6x3 + Bx - 3 
Determine pela primeira regra de L' Hospital ~i_'.;1
1 
x4 _ 
1 
@ -514 
® -512 
© 312 
® -312 
© 
Pergunta 6 
Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo Ox, atua uma força cuja componente na direção do deslocamento é f(x). Calcule o trabalh o realizado pela força 
quando a partícula se desloca de x= a até x=b, sendo dados: f(x)= -3x, a=- 1 e b= 1 
@61 
@21 
@11 
@31 
@ 01 
 
 
 
 
 
Pergunta 7 
Determine o volume de um sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y), de forma que 1 ~ x~ 3 e O ~y~ x. Em seguida, 
assinale a alternativa correta. 
~ 
3 
Pergunta 8 
Calcule a primitiva de y=(x3+ 3x-1 ). 
® 
© 
® 
x4 
4 + 3x + k 
x4 
--x + k 
4 
½ + x 2 + 3x + k 
Pergunta 9 
Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada da função g(x) = ln (sen(x2)) 
@ tg(x2 ) 
® 
cos(x') 
sen(x2) 
© zero 
® + 00 
© 2x cos(x') sen(x') 
 
 
Pergunta 10 
J x -13 Aplicando o método das frações parciais, encontre o resultado da integral: 2 dx X - x - 6 
@ 31n lx + 2l- 21n lx - 31 + e 
@ - 31nlxl- 21n lx - 3l+ C 
@ 31n lx + 21 + lnlx - 31 + C 
@ ln lx + 21 - ln lx l + C 
@ ln lx + 21+ 21nlx - 3l+ C 
Ativar o Windows 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2ª CHAMADA 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSORA ROGÉRIO ROSA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 
E D 
Questão Anulada. Pontos 
redistribuídos nas demais 
questões 
Questão Anulada. Pontos 
redistribuídos nas demais 
questões 
A 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 
2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 5 QUESTÕES. 
3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ 
ALTERNATIVA CORRETA. 
4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 
5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO 
PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 
6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À 
SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO 
DOCENTE. 
7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 
8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA ÚLTIMA FOLHA E LEVE – 
APENAS A ÚLTIMA FOLHA – PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À 
REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 
9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA 
AVALIAÇÃO. 
 
 
CÁLCULO INTEGRAL 
Rogério Rosa 
 
1) Utilizando a Regra da Cadeia derive : 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2) Determina a Integral Indefinida de : 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3) Derive : (Questão Anulada. Pontos redistribuídos nas demais questões) 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4) Calcule a Integral Definida : (Questão Anulada. Pontos redistribuídos nas demais 
questões) 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
5) Derive : 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
RESOLUÇÃO DO PROFESSOR 
 
 
QUESTÃO 01: 
 
   
   
2
2
2 2
1 1
x
x
x x
f x Ln e
f x e
e e


  
2xe .2 2x x
 
  2f x x  
 
Resposta 2x, alternativa “e” 
 
QUESTÃO 02: 
 
3 2
2
3 2
x x
x x dx C    
Resposta 
3 2
3 2
x x
C  , alternativa “d” 
 
QUESTÃO 03: 
  5 3f x x x  
 
     
5 3 1/2
4 211 11 5 3 5 322 2
5 3
1 1 1 5 3
. .
2 2 2 2
A
f x x x A A
x x
f x A A A x x x x
x x
 
   
      

 
Resposta 
4 2
5 3
5 3
2
x x
x x


, não há opção de resposta. 
 
 
 
QUESTÃO 04: 
 
3
3 4 2 4 2 4 2
3
2 2
3 3 2 2 75
4 2 4 2 4 2 4
x x
x x dx
     
           
     
 
Resposta 
75
4
, não há opção de resposta. 
 
QUESTÃO 05: 
 
   
2
2 . 2
x
x
f x
f x Ln

 
 
Resposta  2 . 2x Ln , alternativa “a” 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
PROVA FINAL 
GABARITO 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSORA ROGÉRIO ROSA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 
D A C 
Questão Anulada. 
Pontos redistribuídos 
nas demais questões. 
E 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 
2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 5 QUESTÕES. 
3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ 
ALTERNATIVA CORRETA. 
4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 
5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO 
PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 
6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À 
SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO 
DOCENTE. 
7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 
8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA ÚLTIMA FOLHA E LEVE – 
APENAS A ÚLTIMA FOLHA – PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À 
REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 
9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA 
AVALIAÇÃO. 
 
CÁLCULO INTEGRAL Rogério Rosa 
 
1) Utilizando a Regra da Cadeia derive : 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2) Aplique a regra de L’Hospital para calcular 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine a integral indefinida 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
4) Calcule a Integral Definida : 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Derive : 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO DESTACÁVEL 
 
 
Prezado(a) aluno(a), 
 
Disponibilizamos esta folha para que você anote o gabarito da avaliação, 
destaque e leve com você apenas esta folha, para conferir as respostas no 
Ambiente Virtual de Aprendizagem. 
 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
 
CURSO 
DISCIPLINA 
PROFESSORA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO DESTACÁVEL 
1 2 3 4 5 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
AVALIAÇÃO 4 
GABARITO 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 27/06/2015 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 
A E B D C 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 
2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 10 QUESTÕES. 
3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ 
ALTERNATIVA CORRETA. 
4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 
5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO 
PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 
6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À 
SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO 
DOCENTE. 
7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 
8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA ÚLTIMA FOLHA E LEVE – 
APENAS A ÚLTIMA FOLHA – PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À 
REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 
9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA 
AVALIAÇÃO. 
 
NOME DA DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL 
Professor(a) BRÁULIO ANCHIETA 
 
1- Utilizando a regra de L’Hospital é possível calcula o limite o seguinte limite: 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎+ 𝒙. 𝒆
𝟏
𝒙 
a) +∞ 
b) 1 
c) −∞ 
d) 𝒆𝟐 
e) zero 
2- Seja 𝒚 = 𝒇(𝒙), 𝒙 ∈ 𝑹, a função dada implicitamente pela equação 𝒚𝟑 + 𝒚 = 𝒙. Determine a 
equação da derivada 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 . 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥−1
3𝑦+1
 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑥+4
𝑦3
 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑦2 − 𝑥 
d) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
5
3𝑥+𝑦
 
e) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
3𝑦2+1
 
3- Determine a função que representa a integral 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝒙𝟐 − 𝟐.𝒅𝒙 
a) 𝐹 𝑥 = 2𝑥 − 2 + 𝑘 
b) 𝐹 𝑥 =
 (𝑥2−2)3
3
+ 𝑘 
c) 𝐹 𝑥 =
 𝑥−2
3
2
+ 𝑘 
d) 𝐹 𝑥 =
 (2𝑥−1)3
5
+ 𝑘 
e) 𝐹 𝑥 = 3 (𝑥 − 2) + 𝑘 
 
4- Determine a função que representa a integral 𝑭 𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 
a) 𝐹 𝑥 = −
1
2
𝑒2𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝑘 
b) 𝐹 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑒2𝑥 + 𝑘 
c) 𝐹 𝑥 = cos 𝑥 − 𝑒 + 𝑘 
d) 𝐹 𝑥 =
1
2
𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑘 
e) 𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥 cos 𝑥 − 3𝑥2 + 𝑘 
 
5- Calcule a área do conjunto de todos os pontos (𝒙,𝒚) tais que 𝒙𝟐 ≤ 𝒚 ≤ 𝒙 
a) 2 
b) 
3
4
 
c) 
𝟏
𝟑
 
d) 1 
e) 
 2
5
 
 
 
GABARITO 
1-A 
2-E 
3-B 
4-D 
5-C 
 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
SEGUNDA CHAMADA – 1.B 
GABARITO 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR BRÁULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 25/07/2015 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 
A C A B A 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 
2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 10 QUESTÕES. 
3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ 
ALTERNATIVA CORRETA. 
4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 
5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO 
PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 
6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À 
SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO 
DOCENTE. 
7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 
8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA ÚLTIMA FOLHA E LEVE – 
APENAS A ÚLTIMA FOLHA – PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À 
REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 
9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA 
AVALIAÇÃO. 
 
Cálculo Integral 
Professor: Bráulio Anchieta 
 
1. Determine o valor do limite 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏
𝐥𝐧 𝒙
𝒙²−𝒙
 
 
A) 1 
B) 2 
C) −∞ 
D) ∞ 
E) −2 
Aplicando a regra de L´Hospital, faremos: 
lim
𝑥→1
ln 𝑥
𝑥²− 𝑥
= lim
𝑥→1
1
𝑥
2𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
1
𝑥(2𝑥 − 1)
= 1 
 
 
2. Determine o valor da integral indefinida 𝐱 𝐥𝐧 𝐱𝐝𝐱 
 
A) 
1
2
𝑥𝑙𝑛𝑥 +
1
4
𝑥2 + 𝐶 
B) 
1
4
 2 ln 𝑥 − 1 + 𝐶 
C) 
𝟏
𝟐
𝒙𝟐𝒍𝒏𝒙 −
𝟏
𝟒
𝒙𝟐 + 𝑪 
D) 
1
4
𝑥2 2 ln 𝑥² − 1 + 𝐶 
E) −
1
2
𝑥2𝑙𝑛𝑥 −
1
4
𝑥 + 𝐶 
 
 
Solução: Aplicando a integração por partes faremos: 
𝑢 = ln 𝑥 
𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 
𝑣 =
1
2
x2 , 𝐸𝑛𝑡ã𝑜… 
 𝑥𝑙𝑛𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 =
1
2
𝑥²𝑙𝑛𝑥 − 
1
2
𝑥² 
1
𝑥
 = 
1
2
𝑥²𝑙𝑛𝑥 − 
1
2
𝑥𝑑𝑥 =
1
2
𝑥²𝑙𝑛𝑥 −
1
4
𝑥² + 𝐶 
 
3. Resolva a integral 𝐱²𝐞−𝟒𝐱³𝐝𝐱 
 
A) −
𝐞−𝟒𝐱³
𝟏𝟐
+ 𝐂 
B) 
𝑒4𝑥³
12
+ 𝐶 
C) −
𝑒−𝑥³
2
+ 𝐶 
D) 
𝑒−4𝑥²
12
+ 𝐶 
E) 
𝑒𝑥³
12
+ 𝐶 
 
Solução: Aplicando a seguinte substituição 
 
𝑢 = −4𝑥3 
𝑑𝑢 = −12𝑥2𝑑𝑥 
𝑥2𝑑𝑥 = −
𝑑𝑢
12
 
 𝐱²𝐞−𝟒𝐱³𝒅𝒙 = 𝐞𝐮 −
𝑑𝑢
12
= −
1
12
 𝑒𝑢 = −
1
12
𝑒𝑢 + 𝐶 = −
1
12
𝑒−4𝑥
3
+ 𝐶 
 
 
4. Calcule 𝐱𝐞𝟑𝐱𝐝𝐱 
 
A) 
𝑥𝑒3𝑥
3
+
𝑒3𝑥
9
+ 𝐶 
B) 
𝒙𝒆𝟑𝒙
𝟑
−
𝒆𝟑𝒙
𝟗
+ 𝑪 
C) 
𝑒3𝑥
3
−
𝑒𝑥
9
+ 𝐶 
D) 
𝑥𝑒𝑥
3
+
𝑒3𝑥
9
+ 𝐶 
E) 
𝑥𝑒3𝑥
9
+
𝑒3𝑥
3
+ 𝐶 
 
Solução: Aplicando a integração por partes faremos: 
𝑢 = 𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒3𝑥𝑑𝑥 
𝑣 =
1
3
e3x , 𝐸𝑛𝑡ã𝑜… 
 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 =
xe3x
3
− 
𝑒3𝑥
3
𝑑𝑥 =
xe3x
3
−
𝑒3𝑥
9
+ 𝐶 
 
 
5. Encontre 𝒅𝒚/𝒅𝒙 do polinômio 𝒙³ + 𝒚³ = 𝟖 por derivação implícita: 
 
A) 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −
𝒙²
𝒚²
 
B) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
8𝑥
 
C) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
8𝑦
𝑥
 
D) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥−𝑦
8
 
E) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
8
𝑥−𝑦
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO COMENTADO 
AV2 - 2015.2B - 19/12/2015 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR(A) ANTÔNIO MATIAS 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A E B D C C A D E D 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadasno gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 
 
1. Utilizando a regra de L’Hospital é 
possível calcula o limite o seguinte 
limite: 
 
a) 
b) 1 
c) 
d) 
e) 
 
2. Seja , , a função dada 
implicitamente pela equação 
 Determine a equação da 
derivada . 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. Determine a função que representa a 
integral 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. Determine a função que representa a 
integral 
 
 
 
 
 
 
5. Calcule a área do conjunto de todos os 
pontos tais que 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
6. Utilizando a regra de L’Hospital é 
possível calcula o limite o seguinte 
limite: 
a) 
b) 1 
c) 
d) 
e) 
 
7. Seja , , a função dada 
implicitamente pela equação 
 Determine a 
equação da derivada . 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 
8. Determine a função que representa a 
integral 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
9. Determine a função que representa a 
integral 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
10. Calcule a área do conjunto de todos os 
pontos tais que, , com 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO COMENTADO 
1) 
Aplicando a regra de L’Hospital 
 
 
2) 
Derivando 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
Aplicando a técnica de integração “por 
substituição de uma nova variável”: 
 
 
 
Substituindo essa nova variável na 
integral, temos: 
 
 
Assim, a solução da integral é dada por: 
 
 
4) 
 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 
 
Aplicando a técnica de integração “por 
partes”: 
 (expressão por 
integração por parte) 
 
Definindo a variável 
 
 
Definindo a variável 
 
 
Aplicando os termos e na expressão por 
partes, temos: 
(*) 
 
Ficamos com uma nova integral para ser resolvida 
, que também será aplicada técnica 
“por partes”: 
Definindo novamente a variável 
 
 
 
 
Definindo a variável 
 
 
Aplicando os termos e na expressão por 
partes, temos: 
 
Agora podemos substituir esta solução na 
integral dada no problema (*), que resulta em: 
 
 
 
Passando a integral do lado direito para o outro 
lado, ficaremos com uma soma de duas integrais; 
 
 
 
 
Assim, termos a solução: 
 
 
5) Se traçarmos um gráfico contendo 
as duas funções e , conforme figura 
seguinte, obteremos uma região que 
pode ser calculada por integração 
definida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, temos: 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 
 
 
 
 
 
6) 
Aplicando a regra de L’Hospital 
 
 
7) 
Derivando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) 
Aplicando a técnica de integração “por 
substituição de uma nova variável”: 
 
 
 
 
 
Substituindo essa nova variável na 
integral, temos: 
 
 
Assim, a solução da integral é dada por: 
 
 
9) Como 
, 
podemos aplicando a técnica de 
integração “por partes”: 
 (expressão por 
integração por parte) 
Definindo a variável 
 
 
 Definindo a variável 
 
 
 Aplicando os termos e na 
expressão por partes, temos: 
 
 
 
 
 
 Como 
 Então: 
 
 
 
 
 
 Ou 
 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 Podemos agora a integral do lado 
direito para o outro lado, ficaremos com 
uma soma de duas integrais; 
 
 
 
 Assim, termos a solução: 
 
 
10. A ÁREA ENTRE AS CURVAS Y= X e Y=X² no 
intervalo que foi dado, ou seja: 
x maior ou igual a zero e x menor ou igual a 2. 
Precisamos calcular esta área primeiro de zero 
até 1, ou seja, a integral de; x-x² que é igual a 
1/2x² - 1/3x³ 
Substituindo pelos limites zero e 1 encontramos 
1/6 
Em seguida encontramos a área de 1 até 2, 
porém a integral agora é o contrário, ou seja, x²-x 
que é igual a 
1/3x³- 1/2x² que substituindo pelos limites de 1 
até 2 encontramos 5/6. 
ENTÃO SOMANDO AS DUAS PARTES, OU SEJA, AS 
ÁREAS ENCONTRADAS: 1/6 + 5/6=1 
RESPOSTA 1 UNIDADE DE ÁREA, QUE ESTÁ NA 
LETRA “ D " 
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
SEGUNDA CHAMADA 
 09/01/2016 - 2015.2B 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR(A) ANTONIO MATIAS 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A B C D E A D B D B 
 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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 CÁLCULO INTEGRAL Professor(a): ANTONIO MATIAS 
 
 
1. Utilizando a Regra da Cadeia derive: 
: 
 
a) 
 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2. Derive em função de : 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. Derive : 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. Determina a Integral Indefinida de 
: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
5. Calcule a derivada da função : 
 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
d) 
e) 
 
6. Qual função representa o resultado da integral 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7. Qual função representa o resultado da integral 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
8. Qual função representa o resultado da integral 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
9.Resolva o limite da função seguinte, aplicando a 
regra de L’Hospital: 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
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 CÁLCULO INTEGRAL Professor(a): ANTONIO MATIAS 
 
 
10.Calcule o valor da área correspondente a região 
delimitada pelo conjunto de pontos formado por: 
 e 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
 30/01/2016 - 2015.2B - FINAL 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR(A) ANTONIO MATIAS 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
D A A D C E C B D A 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiveremmarcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): Antonio Matias 
 
 
1. Seja , , a função dada implicitamente pela equação Determine a 
equação da derivada . 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2. Aplique a regra de L’Hospital para encontrar o limite da expressão: 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. Aplique a regra de L’Hospital para encontrar o limite da expressão: 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. Determine a função que representa a integral 
 
a) 
b) 
c) 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): Antonio Matias 
 
 
d) 
e) 
 
5. Qual das seguintes alternativas expressa a área delimitada pelas curvas 
 e 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
6. Determine a função que representa a integral 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7. Determine a derivada da função dada da implicitamente na expressão: 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
8. Determine a função que representa a integral 
 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): Antonio Matias 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
9. Calcule a derivada correspondente a expressão 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
10. Calcule a derivada correspondente a expressão 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
AV2 
GABARITO 
 2016.1B – 11/06/2016 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 A D A B E B A E A B 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
1. Considere a função  
xe
x
xf
2
ln
 . Determine fl 
(x). 
 
a) 





 x
x
e x ln2
12
 
b) 





 x
x
e x ln2
12
 
c) 





 x
x
e x ln2
12
 
d) 





 x
x
e x ln2
12
 
e) xe x ln.2 
(1)  
xe
x
xf
2
ln
 , temos duas novas funções. 
A função logaritmo natural y = lnu e 
a função exponencial do número “e”, ou seja, y = eu 
Duas novas regras de derivação: 
ll u
u
yuy .
1
ln  (u é função de x) 
lulu ueyey . (u é função de x) 
 
(2) Analisando a função 
xe
x
xf
2
ln
)(  
Observamos que antes de derivar para logaritmo 
natural e para a exponencial, temos um Quociente 
2v
uvvu
v
u ll
l







 
(3) Então, derivando  
xe
x
xf
2
ln
 
Inicialmente usando a regra do Quociente: 
 
   
 
 
 
 
  


























 x
x
exf
e
x
x
e
x
x
e
xf
e
exe
xxf
e
e
dx
d
xex
dx
d
xf
xl
xx
x
l
x
xx
l
x
xx
l
ln2
1
.
ln2
1
ln2
1
2..ln.
1
.ln.ln
2
24
2
22
22
22
22
 
RESPOSTA: Letra A 











 x
x
e x ln2
12
 
 
 
2. A derivada da função f (x) = x2 cos x – 2x sen x – 
2cos x é igual a: 
 
a) 2xsen x + x2 cos x 
b) sen x – 2x2 cos x 
c) x2 cos x 
d) – x2 sen x 
e) 2x sen x + x2 sen x – 2 cos x 
(1) A função f(x) = x2 cos x – 2x sen x – 2 cos x pode 
ser derivada usando uma sequência de regras de 
derivação. 
f(x) = x2 cos x – 2x sen x – 2 cos x, é uma soma 
algébrica 
     x
dx
d
xsenx
dx
d
xx
dx
d
xf l cos22cos)( 2 
 
(2) Vamos usar regras conhecidas anteriormente e 
mais duas importantes regras da derivação: 
Considere “u” sendo uma função de “x” 
senxyxyouusenuyuy
xysenxyouuuysenuy
lll
lll


cos.cos
cos.cos
 
(3) Continuando a nossa derivação 
       
   
 
   












)tan(2.2cos2
).(cos222
).(cos2cos2cos
cos22cos
222
2
funçãopelateconssenxsenxx
dx
d
produtoRxxsenxxsenx
dx
d
produtoRsenxxxxsenxxxxxx
dx
d
x
dx
d
xsenx
dx
d
xx
dx
d
xf l
 
Substituindo: 
     senxxxsenxsenxxxxxf l 2cos22cos2 2 
 
(Observando os sinais das funções nos parênteses). 
  senxxxsenxsenxxxxxf l 2cos22cos2 2 
 
(Eliminando os termos semelhantes de sinais opostos) 
fl(x) = - x2 senx 
 
RESPOSTA: Letra D (- x2 sen x) 
 
3. Considere a função )4()(   tsentf com 
aproximação de 
100
1 com  = 3,14 e determine a 
derivada fl (1): 
 
a) – 12,56 
b) 12,56 
c) 6,28 
d) – 6,28 
e) 2,02 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
Derivando a função f(t) = sen (4t - ), temos: 
     
    56,1214,3.441
44.14.3cos4.1.4cos)1(
4).4cos()(






l
l
l
f
f
ttf
 
RESPOSTA: Letra A (– 12,56) 
 
4. O Valor de 
1
ln
lim
1  x
x
x
é: 
 
a) e 
b) 1 
c)  
d) – 1 
e) –  
(1) 
1
ln
lim
1  x
x
x
= ? Procuramos resolver o limite 
normalmente substituindo pela tenência. 
?
0
0
lim
11
1ln
lim
11

  xx
, obtendo uma 
indeterminação. 
Sabemos que 
0
0
 e 


 são as indeterminações que 
nos levam a regra de L’hôspital que pode ser usada e 
substituída: 
 
 
 
 
)Re""(limlim alaqualquer
xg
xf
xg
xf
l
l
axax 

 
Então: 
 
1
1
1
lim
1
ln
lim
11








 
x
x
x
xx
 
Pois:     11
1
ln  x
dx
d
e
x
x
dx
d
 
 
RESPOSTA: Letra B (1) 
 
5. Determine a função correspondente a integral: 
dxxx 


  4
1
2
1
 
 
a) 4
5
2
3
4
5
2
3
xx  
b) 5
4
2
3
4
5
2
3
xx  
c) 
52
5
1
3
1
xx  
 
 
 
 
 
d) 
53
5
4
3
2
xx  
e) 4
5
2
3
5
4
3
2
xx  
(1) Podemos resolver a integral separando cada uma 
das funções e aplicar a propriedade de integrais para 
funções potência. 
 


1,
1
1
ncomC
n
x
dxx
n
n
 
(2)   


  dxxdxxdxxx 4
1
2
1
4
1
2
1
 
Aplicando a propriedade acima, temos: 































4
5
2
3
1
4
1
1
2
1
4
5
2
31
4
11
2
1
xxxx
 
(Invertendo as frações dos denominadores) 
Cxx  4
5
2
3
5
4
3
2
 
RESPOSTA: Letra E 
 
6. Calcular integral 
e
t
dt
1
2 , sendo e  2,7182. 
 
a) 1 
b) 2 
c) e 
d) 2e 
e) Zero 
(1)   
e ce
dt
t
dt
t
ou
t
dt
1 11
1
.2
1
.22 
(2)