Exercícios 2 - Calculo de varias variaveis

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de 
aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da 
área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação 
envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco 
e também o cálculo de volume de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
 
De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e 
integral a várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada 
por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta: 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 2√10 u.c.210u.c. 
Você acertou! 
A=∫ba√ 1+[f′(x)]2 dx=∫20√1+32dx=∫20√10 dx=2√10 u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c. 
 
livro-base: p. 21-24 
 
B 3√5 u.c.35u.c. 
 
C 4√5 u.c.45u.c. 
 
 
D 5√5 u.c.55u.c. 
 
E 6√10 u.c.610u.c. 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, 
calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de 
curvas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a 
várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do 
segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em 
torno do eixo das abscissas é dada por: 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 16ππ 
 
B 16ππ√17 17 u.a. 
Você acertou! 
 
 
 
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
 
C √17 17 u.a. 
 
D √17π17π u.a. 
 
E 2√17 217 u.a. 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a 
alternativa que corresponde ao valor da área da região R limitada pelas 
curvas y=x2y=x2 e y=√ x y=x, do gráfico a seguir, é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 13u.a.13u.a. 
Você acertou! 
Solução: 
 
A=∫10∫√ x x2dydx=∫10y∣∣∣√ x x2dx=∫10(√ x −x2)dx=23x3/2−x33∣∣∣10=23−13=13u.a.A=∫01∫x2xdydx=∫01y|x2xdx=∫01(x−x2)dx=23x3/2−x33|01=23−13=13u.a. 
 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p. 54-59 
 
B 23u.a.23u.a. 
 
 
C 43u.a.43u.a. 
 
D 53u.a.53u.a. 
 
 
E 73u.a.73u.a. 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser 
generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para 
integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
 
Considerando o texto acima e utilizando as técnicas de integração aprendidas ao longo 
da Videoaula "Exercícios" - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05 e do livro-
base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que 
apresenta o valor correto de 
I.I. 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy. 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 1212 
 
B 3232 
Você acertou! 
Solução: 
 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy=∫02(x44+yx22)|x=0x=1dy=∫02(14+y2)dyI=(y4+y24)|02=(24+224)=64=32. 
 
Fonte: Videoaula Exercícios - videoaula 2 - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05, 03'10 até 04'27 | e Livro-Base, p. 54-59. 
 
C 5252 
 
D 7272 
 
 
E 9292 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho a seguir: 
A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a 
xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível 
em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y -6z. De acordo com os conteúdos da Aula 3 - 
Tema: Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos: 
Nota: 10.0 
 
A fx = 3; fy = 5; fz = -6 
Você acertou! 
Calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. 
De acordo com a vídeo aula: 
Observar cada termo separadamente Aplicar as regras de derivação para a variável de análise As demais variáveis são consideradas constantes 
 
(Vídeo aula 3). 
 
B fx = -3; fy = -5; fz = -6 
 
C fx = 5; fy = 3; fz = 6 
 
D fx = 6; fy = 5; fz = -3 
 
E fx = -6; fy = 5; fz = 3 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. 
As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de 
uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o 
cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de 
volume de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Com base no texto acima e nos conteúdos discutidos no livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície 
cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela 
equação y=3x+2y=3x+2 no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das 
abscissas e assinale a alternativa que corresponde a esse valor. 
 
Nota: 10.0 
 
A 25π√20 u.a.25π20u.a. 
 
B 20π√10 u.a.20π10u.a. 
Você acertou! 
Solução: 
 
A=2π∫20y(x)√ 1+[y′(x)]2 dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10 ∫20(3x+2)dxA=2π√10 3(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√10 3=20π√10 u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a. 
 
 
livro-base p. 15-20 
 
C 22π√ 12 u.a.22π12u.a. 
 
 
D 23π√13 u.a.23π13u.a. 
 
 
E 21π√15 u.a.21π15u.a. 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis, a respeito da sequência an=3+7n2n+n2an=3+7n2n+n2, pode-se afirmar 
que: 
 
 
Nota: 10.0 
 
A é convergente com limite 3. 
 
B é convergente com limite 7. 
Você acertou! 
Observamos que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7. 
Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente com limite igual a 7. (livro-base, p. 104-105) 
 
C é convergente com limite 10. 
 
D é divergente. 
 
E é convergente com limite infinito. 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. 
As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de 
uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o 
cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de 
volume de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Observe o limaçon abaixo: 
 
 
Fonte: Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
Considerando o limaçon e os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial 
e integral a várias variáveis, assinale a alternativa que apresenta corretamente a 
área da região cinza do limaçon r=1+2senθr=1+2senθ. 
Nota: 10.0 
 
A 4+32πu.a.4+32πu.a. 
Você acertou! 
Solução: 
 
A=12∫π0[f(θ)]2dθ=12∫π0[1+2senθ]2dθA=12∫π0(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫π0[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫π0(3+4senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)∣∣∣π0A=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a.A=12∫0π[f(θ)]2dθ=12∫0π[1+2senθ]2dθA=12∫0π(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫0π[1+4senθ+4(12
−12cos2θ)]dθA=12∫0π(3+4senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)|0πA=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a. 
 
livro-base: p. 33-36B 3+12πu.a.3+12πu.a. 
 
C 2+52πu.a.2+52πu.a. 
 
 
D 1+72πu.a.1+72πu.a. 
 
 
E 3+52πu.a.3+52πu.a. 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem do texto: 
 
"A operação de derivada parcial permite encontrar a derivada de uma função de 
várias variáveis em relação a uma de suas outras funções. A estratégia para o 
cálculo é considerar todas as outras variáveis como constantes e aplicar as regras 
de derivação como habitualmente." 
Texto elaborado pelo autor. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível 
em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de 
várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
Assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da 
função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.. 
Nota: 10.0 
 
A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. 
Você acertou! 
Calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, 
 
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. 
 
B ∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x 
 
C ∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x 
 
D ∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y 
 
E ∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considere a região RR delimitada pela reta y=x+2y=x+2 e pela 
parábola y=x2y=x2, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
O valor da área de RR é 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 52u.a.52u.a. 
 
B 132u.a.132u.a. 
 
C 29u.a.29u.a. 
 
D 92u.a.92u.a. 
Você acertou! 
A área da região RR pode ser obtida a partir da integral dupla: ∬R1dA.∬R1dA. 
 
Inicialmente, observamos que R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}.R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}. Assim, 
A=∫2−1∫x+2x21dydx=∫2−1(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]2−1=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a.A=∫−12∫x2x+21dydx=∫−12(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]−12=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a. 
 
E 72u.a.