Aritmética e Teoria dos Números (MAD108) AV Final Discussiva

Prévia do material em texto

Aritmética e Teoria dos Números (MAD108)
Avaliação Final Discussiva
1No sistema de numeração decimal, trabalhamos com agrupamentos de 10 em 10. No sistema de numeração de base 5, fazemos os agrupamentos de 5 em 5, e assim por diante. Um procedimento muito usado para transformação de um número em uma base qualquer é o método das divisões sucessivas. Apresente a representação polinomial do número 174 na base 5.
Resposta esperada
174 = 34 . 5 + 4 34 = 6 . 5 + 4 6 = 1 . 5 + 1 1 = 0 . 5 + 1 Apresentar a representação polinomial: 174 = 1 . 5³ + 1. 5² + 4 . 5 + 4
Minha resposta
O primeiro passo é fazer as divisões: 174/5 = 34 com resto 4 34/5 = 6 com resto 4 6/5 = 1 com resto 1. Sendo este resultado o último cociente. Com isso, temos que: 174 = 1144 na base 5. Agora, vamos fazer a volta. 1144, sendo respectivamente, 1 = 5 elevado a 3, 1 = 5 elevado a 2, 4 = 5 elevado a 1 e 4 = 5 elevado a 0. Temos que: 1x5 elevado a 3 + 1x5 elevado a 2 +4x5 elevado a 1 + 4x5 elevado a 0. Portanto, temos que: 125+25+20+4 = 174. Concluímos que, fazendo a volta, voltamos ao valor incial.
2Como forma de um agrado os seus netos, uma senhora comprou algumas balas, pretendendo distribuí-las igualmente, em um dia festivo entre a família. Como não sabia quantos netos estariam presentes, fez as contas para as possíveis divisões, percebendo que:
• Se viessem 3 netos, sobrariam 2 balas.
• Caso comparecessem 4 netos, sobrariam 3 balas.
• Caso viessem 5 netos, sobrariam 4 balas.
Apresentando todo o desenvolvimento na resolução do problema, qual o número mínimo de balas que a senhora havia à disposição?
Resposta esperada
O acadêmico deve proceder da seguinte forma:
Minha resposta
Com os dados, temos que: x =2 (mod 3) x =3 (mod 4) x =4 (mod5) Com isso, devemos utilizar o Teorema Chinês dos Restos: M=3.4.5=60 M1=60/3=20 M2=60/4=15 M3=60/5=12 Agora, temos que: 20y =1 (mod 3) 15y =1 (mod 4) 12y =1 (mod 5) tendo assim, soluções de y1=2, y2=3 e y3=4. Logo, temos que: x=20x2x2+15x3x3+12x3x4+tx60 x=359+tx60 Portanto, temos que: x =359 (mod 60) x =59 9 (mod 60) Com isso, podemos concluir que a solução mínima é 59 balas.