Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02) avaliação 1

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1Para realizar a discussão de um sistema linear, devemos verificar se o sistema é 
SPD (possível e determinado), SPI (possível e indeterminado) ou SI (impossível). 
Analise o sistema a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
A 
Não é possível discutir o sistema. 
B 
O Sistema é SI. 
C 
O Sistema é SPI. 
D 
O Sistema é SPD. 
2Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é 
do tipo nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o 
nome de determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na 
Matemática, temos a resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares ou 
ainda, o cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são 
conhecidas as coordenadas dos seus vértices. Baseado nas propriedades dos 
determinantes, analise as sentenças a seguir: I- Se os elementos de uma linha de 
uma matriz quadrada forem todos iguais a zero, seu determinante será zero. II- Se 
os elementos de duas linhas de uma matriz forem iguais, seu determinante será 
nulo. III- Uma matriz que não é quadrada possui determinante igual ao da sua 
transposta. IV- Se trocarmos de posição, entre si, duas linhas de uma matriz 
quadrada, o determinante da nova matriz é o anterior com o sinal trocado. Assinale 
a alternativa CORRETA: 
A 
Somente a sentença I está correta. 
B 
As sentenças II e III estão corretas. 
C 
As sentenças III e IV estão corretas. 
D 
As sentenças I, II e IV estão corretas. 
3Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas. Esse tipo 
especial de matriz possui um número real associado. A este número real, damos o 
nome de determinante da matriz. Baseado nisso, sabendo que o determinante de 
uma matriz é igual a 5, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor do 
novo determinante, obtido pela multiplicação de uma linha por -4: 
A 
-20. 
B 
1/20. 
C 
20. 
D 
-4. 
4Sistemas lineares são úteis para todos os campos da matemática aplicada, em 
particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de 
diversas áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na economia, 
por exemplo, é muito comum a modelagem de situações por meio de sistemas 
lineares. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução 
para o sistema a seguir: 
A 
{2, 3}. 
B 
{1, 4}. 
C 
{-2, 1}. 
D 
{3, 2}. 
5Podemos calcular o determinante de qualquer matriz desde que essa seja 
quadrada, ou seja, que a matriz tenha o mesmo número de linhas e de colunas (seja 
uma matriz de ordem n x n). Desta forma, verifique se o determinante do produto 
das matrizes a seguir existe, analise as sentenças quanto a este resultado e assinale 
a alternativa CORRETA: 
A 
Somente a sentença I está correta. 
B 
Somente a sentença III está correta. 
C 
Somente a sentença II está correta. 
D 
Somente a sentença IV está correta. 
6Ao se falar dos determinantes associados a uma matriz, não nos vem à mente 
uma aplicação prática de seu uso. No entanto, isto é uma ideia apenas inicial, pois 
os determinantes foram (e são) uma ferramenta poderosíssima no processo de 
cálculo e discussão dos sistemas lineares, estes cuja gama de aplicações é 
gigantesca. Visto isto, calcule o determinante dos coeficientes numéricos das 
incógnitas do sistema linear a seguir (det(A)). Quanto ao seu valor, classifique V 
para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa 
que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
F - F - V - F. 
B 
V - F - F - F. 
C 
F - V - F - F. 
D 
F - F - F - V. 
7Existem várias técnicas utilizadas para calcular o determinante de uma matriz, 
entre elas estão: Regra de Sarrus, Teorema de Laplace, Teorema de Jacobi, entre 
outras. Todas essas técnicas podem ser facilitadas se aplicarmos as propriedades 
dos determinantes, lembrando que os determinantes, bem como suas 
propriedades, são aplicados apenas em matrizes quadradas. Quanto às 
possibilidades do valor do determinante ser nulo, classifique V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas: ( ) Todos os elementos de uma linha ou coluna são 
iguais a zero. ( ) Todos os elementos de uma linha ou coluna são iguais. ( ) Todos os 
elementos de uma linha ou coluna são números primos. ( ) Uma linha ou coluna é 
combinação de outras. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
V - V - F - F. 
B 
F - F - V - V. 
C 
V - V - F - V. 
D 
F - V - V - F. 
8Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em 
situações variadas. Cada uma destas situações poderá representar (ou modelar) 
alguma situação prática que necessite a utilização das matrizes para sua resolução. 
Baseado nisso, dado a matriz a seguir, assinale a alternativa CORRETA que 
apresenta o termo a23: 
A 
20. 
B 
6. 
C 
5. 
D 
10. 
9No estudo das matrizes, verificamos que podemos realizar uma série de 
operações entre elas. No entanto, os procedimentos a serem realizados não são tão 
simples assim e alguns critérios devem ser verificados antes de realizar os 
procedimentos de cálculo. Por exemplo, é muito importante na multiplicação entre 
matrizes saber realizar a analise da ordem das matrizes a serem operadas para 
verificar a viabilidade da realização do cálculo e prever a ordem da matriz 
resposta. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir: I- O produto das matrizes 
A(4 x 2) . B(2 x 1) é uma matriz 4 x 1. II- O produto das matrizes A(4 x 4) . B(4 x 2) 
é uma matriz 4 x 2. III- O produto das matrizes A(2 x 3) . B(1 x 2) é uma matriz 
quadrada 2 x 2. Assinale a alternativa CORRETA: 
A 
As sentenças II e III estão corretas. 
B 
Somente a sentença I está correta. 
C 
As sentenças I e II estão corretas. 
D 
As sentenças I e III estão corretas. 
10A transposta de uma matriz A deve possuir todos os elementos que a matriz A 
(original) possui, porém, dispostos em uma condição que "troca" os elementos das 
linhas da matriz A para colunas da matriz transposta, indicada por At. Esta matriz 
especial possui algumas propriedades importantes. Sobre o exposto, avalie as 
asserções a seguir: I) (-A)t = - (At) é verdadeiro, pois observa-se que a matriz 
apenas foi multiplicada por (-1). PORQUE II) (A+B)t = Bt + At é verdadeiro, pois os 
elementos das matrizes A e B são iguais. Assinale a alternativa CORRETA: 
A 
A asserção I é verdadeira, porém, a II é falsa. 
B 
As asserções são verdadeiras, porém a justificativa dada na II é falsa. 
C 
As asserções I e II são falsas. 
D 
A asserção I é falsa e a II é verdadeira.