Sistemas Lineares e Determinantes

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GABARITO | Avaliação I - Individual (Cod.:740428)
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Prova 46415185
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 8/2
Nota 8,00
Sistemas lineares são úteis para todos os campos da matemática aplicada, em particular, quando
se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas áreas. Nas engenharias, na física,
na biologia, na química e na economia, por exemplo, é muito comum a modelagem de situações por
meio de sistemas lineares. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução
para o sistema a seguir:
A {2, 3}.
B {3, 2}.
C {-2, 1}.
D {1, 4}.
Sistemas lineares é um conjunto de equações lineares, com m equações e n incógnitas. A
solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares. Existem muitas maneiras de
resolver um sistema de equações lineares ou sistemas lineares, como quiser chamá-los. Dessa forma,
o mais importante é conhecer suas principais características e propriedades. Com base no sistema
apresentado, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a
alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - F - V.
B F - F - V - F.
C F - V - F - F.
D V - F - F - F.
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Ao se falar dos determinantes associados a uma matriz, não nos vem à mente uma aplicação
prática de seu uso. No entanto, isto é uma ideia apenas inicial, pois os determinantes foram (e são)
uma ferramenta poderosíssima no processo de cálculo e discussão dos sistemas lineares, estes cuja
gama de aplicações é gigantesca. Visto isto, calcule o determinante dos coeficientes numéricos das
incógnitas do sistema linear a seguir (det(A)). Quanto ao seu valor, classifique V para as opções
verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência
CORRETA:
A F - V - F - F.
B F - F - V - F.
C V - F - F - F.
D F - F - F - V.
Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto
solução. No entanto, podemos realizar esta análise, verificando os coeficientes numéricos das
incógnitas e os termos independentes de cada sistema. Assim, dado o sistema a seguir, determine
quais são os valores de a e b para que os sistemas sejam equivalentes:
A a = 2 e b = 4.
B a = 2 e b = -2.
C a = 4 e b = -2.
D a = 4 e b = 2.
Muitas vezes, quando nos deparamos com algum valor desconhecido em um determinante,
devemos resolver a equação mediante uma resolução de um determinante. Baseado nisso, seja a
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equação a seguir, analise as sentenças quanto ao seu conjunto solução e assinale a alternativa
CORRETA:
A Somente a sentença II está correta.
B Somente a sentença III está correta.
C Somente a sentença I está correta.
D Somente a sentença IV está correta.
Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn). A
toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Dentre as
várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos a resolução de alguns tipos de sistemas de
equações lineares ou, ainda, o cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando
são conhecidas as coordenadas dos seus vértices. Baseado nas propriedades dos determinantes,
analise as sentenças a seguir: I- Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então
seu determinante será nulo. II- O determinante de uma matriz quadrada é sempre positivo. III- O
determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta AT. IV- Se uma
matriz não for quadrada seu determinante será igual a zero. Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I e III estão corretas.
B Somente a sentença III está correta.
C As sentenças II e IV estão corretas.
D As sentenças I e II estão corretas.
Determinante é um tipo de matriz com o mesmo número de linhas e o mesmo número de
colunas, ou seja, uma matriz quadrada. Nele não aplicamos as quatro operações, mas há outras
propriedades, como achar o valor numérico de um determinante. Baseado nisso, analise as sentenças
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sobre o determinante associado à matriz a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção I está correta.
C Somente a opção II está correta.
D Somente a opção III está correta.
Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas. Esse tipo especial de
matriz possui um número real associado. A este número real, damos o nome de determinante da
matriz. Baseado nisso, sabendo que o determinante de uma matriz é igual a 5, assinale a alternativa
CORRETA que apresenta o valor do novo determinante, obtido pela multiplicação de uma linha por
-4:
A 20.
B -20.
C 1/20.
D -4.
Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em situações
variadas. Cada uma destas situações poderá representar (ou modelar) alguma situação prática que
necessite a utilização das matrizes para sua resolução. Baseado nistsso, dado a matriz a seguir,
assinale a alternativa CORRETA que apresenta o termo a23:
A 5.
B 6.
C 10.
D 13.
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As operações de adição, subtração e multiplicação também podem ser aplicadas às matrizes,
desde que preenchidos certos requisitos. Para que duas ou mais matrizes possam ser somadas ou
subtraídas, por exemplo, é necessário que elas sejam de mesma ordem. Cada elemento da matriz
resultante corresponderá à soma ou à subtração, conforme o caso, dos elementos correspondentes das
matrizes originárias. Dadas as matrizes a seguir, analise as respostas para a operação C = A + B,
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que
apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - F.
B F - F - F - V.
C F - F - V - F.
D V - F - F - F.
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