EXERCÍCIOS - CAP.03

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ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 1 
 
O DOCENTE: WALDIK JAIME 
 
EXERCÍCIOS 
 
CAP.3 – RECTA E PLANO 
I-RECTAS 
1.Dada a recta 𝑟: {
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = 3 − 𝑡
𝑧 = −4 + 2𝑡
, determinar o ponto de r tal que: 
a)A ordenada seja 6 
b)A abcissa seja igual a ordenada 
c)A cota seja o quadruplo da abcissa. 
 
2.A recta r passa pelo ponto A(4;-3;-2) e é paralela a recta 𝑠: {
𝑥 = 1 + 3𝑡
𝑦 = 2 − 4𝑡
𝑧 = 3 − 𝑡
. 
Se P(m,n,-5) 𝜖 r, determine m e n. 
 
3.Os pontos M1(2;-1;3); M2(1;-3;0) e M3(2;1;-5) são pontos médios dos lados de um triângulo ABC. 
a)Obter equações paramétricas da recta que contém o lado cujo ponto médio é M1. 
b)Encontrar as equações paramétricas da recta que contem a mediana relativa ao vértice C. 
 
4.Obter o ponto de abcissa 1 da recta 𝑟:
2𝑥+1
3
=
3𝑦−2
2
= 𝑧 + 4 e encontrar um vector director de r que 
tenha ordenada 2. 
 
5.Escrever equações reduzidas na variável z da recta que passa por A(-1;6;3) e B(2;2;1). 
 
6.Determinar o ângulo entre as seguintes rectas: 
a) 
𝑟1: {
𝑥 = −2 − 𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 3 − 2𝑡
 𝑒 𝑟2:
𝑥
2
=
𝑦 + 6
1
=
𝑧 − 1
1
 
 
b) 
𝑟1: {
𝑦 = −2𝑥 + 3
𝑧 = 𝑥 − 2
 𝑒 𝑟2: 𝑦 =
𝑧 + 1
−1
; 𝑥 = 4 
 
c) 
𝑟1: {
𝑥 = 1 + √2𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 5 − 3𝑡
 𝑒 𝑟2: {
𝑥 = 3
𝑦 = 2
 
 
d) 
𝑟1:
𝑥 − 4
2
=
𝑦
−1
=
𝑧 + 1
−2
 𝑒 𝑟2: {
𝑥 = 1
𝑦
4
=
𝑧 − 2
3
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 2 
 
O DOCENTE: WALDIK JAIME 
 
7.Determinar o valor de n para que seja de 30º o ângulo entre as rectas: 
a) 
𝑟1:
𝑥 − 2
4
=
𝑦
5
=
𝑧
3
 𝑒 𝑟2: {
𝑦 = 𝑛𝑥 + 5
𝑧 = 2𝑥 − 2
 
 
b) 
𝑟1: {
𝑦 = 𝑛𝑥 − 1
𝑧 = 2𝑥
 𝑒 𝑟2: 𝐸𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑦 
 
8.Sabendo que as rectas r1 e r2 são ortogonais, determinar o valor de m para os casos: 
a) 
𝑟1: {
𝑥 = 2𝑚𝑡 − 3
𝑦 = 1 + 3𝑡
𝑧 = −4𝑡
 𝑒 𝑟2: {
𝑥 = 2𝑦 − 1
𝑧 = −𝑦 + 4
 
 
b) 
 𝑟1: {
𝑦 = 𝑚𝑥 + 3
𝑧 = 𝑥 − 1
 𝑒 𝑟2: 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝐴(1; 0;𝑚) 𝑒 𝐵(−2; 2𝑚; 2𝑚) 
 
9.Encontrar equações paramétricas da recta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às rectas r1 e 
r2, nos casos: 
a) 
𝐴(3,2,−1) , 𝑟1: {
𝑥 = 3
𝑦 = −1
 𝑒 𝑟2: {
𝑦 = 𝑥 − 3
𝑧 = −2𝑥 + 3
 
b) 
𝐴 é 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐çã𝑜 𝑑𝑒 𝑟1 𝑒 𝑟2 , 𝑟1: 𝑥 − 2 =
𝑦 + 1
2
=
𝑧
3
 𝑒 𝑟2: {
𝑥 = 1 − 𝑦
𝑧 = 2 + 2𝑦
 
 
10.Verificar se as rectas são, concorrentes, coincidentes ou reversas e, caso sejam concorrentes, encontrar 
o ponto de intersecção: 
a) 
𝑟1: {
𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑧 = −𝑥 + 5
 𝑒 𝑟2: {
𝑦 = −3𝑥 + 7
𝑧 = 𝑥 + 1
 
b) 
𝑟1:
𝑥 − 3
2
=
𝑦 + 1
−3
=
𝑧 − 2
4
 𝑒 𝑟2: {
𝑥 = −1 + 𝑡
𝑦 = 4 − 𝑡
𝑧 = −8 + 3𝑡
 
c) 
𝑟1: {
𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑧 = −𝑥 − 10
 𝑒 𝑟2: 𝑥 =
𝑦 − 4
3
=
𝑧 + 1
−2
 
 
d) 
𝑟1: {
𝑥 = 2 − 𝑡
𝑦 = 3 − 5𝑡
𝑧 = 6 − 6𝑡
 𝑒 𝑟2: {
𝑥 = −3 + 6ℎ
𝑦 = 1 + 7ℎ
𝑧 = −1 + 13ℎ
 
e) 
𝑟1: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,4,1) + 𝑡(1,−2,3) 𝑒 𝑟2: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1,2,5) + ℎ(4,3,−2) 
 
f) 
𝑟1: {
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = 4 − 𝑡
𝑧 = −𝑡
 𝑒 𝑟2: {
𝑦 = 6 − 𝑥
𝑧 = 2 − 𝑥
 
ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 3 
 
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11.Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes rectas: 
a) 
𝑟1: {
𝑦 = 2𝑥 − 5
𝑧 = −𝑥 + 2
 𝑒 𝑟2: 𝑥 − 5 =
𝑦
𝑚
= 𝑧 + 1 
 
b) 
𝑟1: {
𝑥 = 𝑚 − 𝑡
𝑦 = 1 + 𝑡
𝑧 = 2𝑡
 𝑒 𝑟2:
𝑥 − 1
3
=
𝑦 + 2
1
=
𝑧
−2
 
 
12.Determinar na recta 𝑟: {
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 = −1 + 2𝑡
 um ponto equidistante dos pontos A(2;-1;-2) e B(1;0;-1). 
13.Escrever equações reduzidas da recta que passa por A(1;3;5) e intercepta o eixo dos z 
perpendicularmente. 
 
14.Escrever equações reduzidas na variável z, de cada uma das rectas que satisfazem às condições dadas: 
a)Passa por A(4;-2;2) e é paralela à recta r: x=2y=-2z 
b)Passa pela origem e é ortogonal a cada uma das rectas 
𝑟:
2𝑥 − 1
3
=
𝑦 + 2
−2
= 2𝑧 − 2 𝑒 𝑠: 𝑥 = −𝑦 = −𝑧 
 
15.Determinar o ângulo que a recta que passa por A(3,-1,4) e B(1,3,2) forma com a sua projecção sobre 
os planos xOy, xOz e yOz, respectivamente. 
 
16.Apresentar equações paramétricas da projecção da recta 𝑟: {
𝑦 = 5𝑥 − 7
𝑧 = −2𝑥 + 6
 sobre o plano xOy. 
 
17.Dados o ponto A(3,4,-2) e a recta 𝑟: {
𝑥 = 1 + 𝑡
𝑦 = 2 − 𝑡
𝑧 = 4 + 2𝑡
. 
a)Determinar as equações paramétricas da recta que passa por A e é perpendicular a r. 
b)Calcular a distância de A à r. 
c)Determinar o ponto simétrico de A em relação à r. 
 
II-PLANOS 
 
18.Determinar o valor de k para que os pontos A(k;1;9), B(2;3;4), C(-4;-1;6) e D(0;2;4) sejam 
complanares. 
 
19.Determinar uma equação geral do plano que passa pelos pontos A(-3;1;-2) e B(-1;2;1) e é paralelo à 
recta 𝑟: 
𝑥
2
=
𝑧
−3
; 𝑦 = 4. 
20.Determinar uma equação geral do plano que contém a recta 𝑟: {
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = 1 − 𝑡
𝑧 = 3 + 2𝑡
 e é perpendicular ao plano 
𝜋1: 2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0. 
 
21.Determinar uma equação geral do plano que contém os pontos A(2,1,2) e B(1,-1,4) e é perpendicular 
ao plano xOy. 
 
 
 
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22.Determinar uma equação geral do plano que contém o ponto A(4,1,1) e é perpendicular aos planos 
𝜋1: 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 0 𝑒 𝜋2: 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 − 3 = 0. 
 
23.Determinar uma equação geral do plano que contém as rectas: 
a) 
𝑟1: {
𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑧 = −𝑥 + 2
 𝑒 𝑟2: {
𝑥 = 1 − 2𝑡
𝑦 = −2 − 𝑡
𝑧 = 3 + 2𝑡
 
b) 
𝑟1: {
𝑥 = 𝑧
𝑦 = −3 𝑒 𝑟2: {
𝑥 = −𝑡
𝑦 = 1
𝑧 = 2 − 𝑡
 
 
24.Determinar uma equação geral do plano que contém o ponto A(1,-1,2) e o eixo z. 
 
25.Verificar se a recta 𝑟: 𝑥 − 2 =
𝑦+2
2
= 𝑧 + 3 está contida no plano 𝜋: {
𝑥 = ℎ + 𝑡
𝑦 = −1 + 2ℎ − 3𝑡
𝑧 = −3 + ℎ − 𝑡
. 
 
26.Dado o ponto P(5,2,3) e o plano 𝜋: 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0, determinar: 
a)As equações paramétricas da recta que passa por P e é perpendicular à 𝜋. 
b)A projecção ortogonal de P sobre o plano 𝜋. 
c)A distância do ponto P à recta de intersecção entre 𝜋 e o plano xOy. 
d)O ponto Q simétrico de P em relação à 𝜋. 
e)A distância de P à 𝜋. 
 
27.Obter as equações paramétricas das rectas nos casos: 
a)A recta passa por A(-1,0,2) e é paralela a cada um dos planos 𝜋1: 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 1 = 0 e 
 𝜋2: 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 2 = 0. 
 
28.Escrever uma equação geral do plano que passa por A(-1,2,-1) e é paralelo a cada uma das rectas: 
𝑟1: 𝑦 = 𝑥, 𝑧 = 1 − 3𝑥 𝑒 𝑟2: 2𝑥 = 𝑦 = 3𝑧 
 
29.Estabelecer equações gerais dos planos bissectores dos ângulos formados pelos planos xOz e yOz. 
 
30.Calcular k de modo que a recta determinada por A(1,-1,0) e B(k,1,2) seja paralela ao plano 
𝜋: {
𝑥 = 1 + 3ℎ
𝑦 = 1 + 2ℎ + 𝑡
𝑧 = 3 + 3𝑡
 
 
31.Mostrar que as rectas 𝑟1: {
3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
8𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 + 1 = 0
 𝑒 𝑟2: {
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 + 3 = 0
3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 5 = 0
 são paralelas e 
encontrar uma equação geral do plano determinado por elas. 
 
32.Dadas as rectas r1:y=-2x, z=x e r2:x=2-t, y=-1+t, z=4-2t, determinar: 
a)O ponto P’ simétrico de P(1,0,5) em relação à recta r1. 
b)O ponto O’ simétrico de O(0,0,0) em relação à recta r2. 
 
33.Achar o ponto N, projecção ortogonal do ponto P(3,-1,-4) no plano determinado pelos pontos A(2,-
2,3), B(4,-3,-2) e C(0,-4,5). Qual o ponto simétrico de P em relação à este plano? 
 
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34.O plano 𝜋: 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 12 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calcular: 
a)A área do triângulo ABC. 
b)A altura deste triângulo relativa à base que está no plano xOy. 
c)O volume do tetraedro limitado pelo plano 𝜋 e pelos planos coordenados. 
 
35.Achar o ângulo entre a recta 𝑟: {
𝑦 = 𝑥 + 5
𝑧 = −6
 e o plano 𝜋: 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 11 = 0. 
(Sugestão: Achar o ângulo 𝜃 entre o vector director da recta e o vector normal do plano e depois achar o seu complementar 𝛼, ou usar a fórmula: 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑣.⃗⃗⃗ �⃗� 
|�⃗� |.|�⃗� |
, pois 𝛼 + 𝜃 = 90º) 
 
III-DISTÂNCIAS 
 
36.Achar a distânciado ponto a recta nos seguintes casos: 
a)P(0,0,0) e 𝑟: {
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 1 = 0
 
b)P(1,2,3) e 𝑟: {
𝑥 = 1
𝑧 = −1
 
 
37.Achar a distância do ponto P(1,1,1) ao plano 𝜋: {
𝑥 = 2 + 2ℎ + 3𝑡
𝑦 = −1 + ℎ + 𝑡
𝑧 = 2 − ℎ
. 
 
38.Achar a distância entre as rectas, nos seguintes casos: 
a) 
𝑟1: {
𝑥 = 2 − 𝑡
𝑦 = 3 + 𝑡
𝑧 = 1 − 2𝑡
 𝑒 𝑟2: {
𝑥 = 𝑡
𝑦 = −1 − 3𝑡
𝑧 = 2𝑡
 
 
b) 
𝑟1: {
𝑥 = 1 + 𝑡
𝑦 = 2 + 𝑡
𝑧 = −2 − 2𝑡
 𝑒 𝑟2: {
𝑦 = 3𝑥 + 1
𝑧 = −4𝑥