Aula04_Modelos probabilisticos_AG_alu

Prévia do material em texto

1
Estatística 
Agronomia
Prof. Nádia Giaretta Biase
Modelos probabilísticos
2
PRINCIPAIS MODELOS PROBABILISTICOS PARA 
V. A. DISCRETAS
Bernoulli 
Binomial
 Poisson
PRINCIPAL MODELO PROBABILISTICO PARA V. A. 
CONTINUAS
 Normal
3
Distribuição Bernoulli
Considere uma única tentativa de um experimento aleatório.
Nessa tentativa podemos ter sucesso ou fracasso
Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso
(ou insucesso), com p + q = 1.
Seja a v.a. X = número de sucessos em uma única tentativa, então
X assumira o valor 0, que corresponde ao fracasso, com
probabilidade q, ou assumirá o valor 1, correspondente ao sucesso,
com probabilidade p.






pXPcomsucesso
qXPcomfracassoO
X
)1(,1
)0(,
4
Nessas condições a v. a. X tem distribuição de Bernoulli e sua
função de probabilidade é dada por:
xxqpxXP  1)(
( )E X p
Lembrando que q = 1 - p
Os parâmetros da distribuição de Bernoulli são:
Média
Variância ( )Var X pq
5
Exemplo 1: Suponha um local com 50 pessoas sendo 30 do sexo
feminino e 20 masculino. Seleciona-se uma pessoa desse local.
Seja X: número de pessoas do sexo masculino.
a) Montar a função de probabilidade
b) Calcular E(X) e Var (X)
6
Distribuição Binomial
• É a mais importante das distribuições teóricas de
probabilidade para variáveis discretas
• É apropriada nas experiência onde ocorre somente
duas situações ( sucesso ou fracasso)
• Exemplos de experimentos binomiais:
• Nascimento de animais em relação ao sexo;
• Indivíduos fumantes ou não;
• Germinação de sementes;
• Eficácia de uma substância aplicada as pragas;
7
Um experimento se enquadra como um experimento binomial se as
seguintes condições são satisfeitas:
1. A variável é discreta
2. Em cada experimento ocorre apenas o sucesso (p) ou fracasso
(q)
3. Os experimentos repetidos são independentes
4. A probabilidade do sucesso (p) permanece constante de
experimento para experimento
5. Um número fixo de n experiências são realizadas
8
Considere a situação: De sete pessoas cadastradas
em um site, 3 concorrerão a prêmios por meio de
sorteio (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de mulheres
dentre as 3 pessoas escolhidas.
X: { 0, 1, 2, 3}
A situação envolve 3 eventos independentes.
Para cada evento:
P(mulher) = 5/7
P(homem) = 2/7
= p (probabilidade de sucesso)
= q (probabilidade de fracasso, q = 1 - p)
9
Considere a situação: De sete pessoas cadastradas
em um site, 3 concorrerão a prêmios por meio de
sorteio (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de mulheres
dentre as 3 pessoas escolhidas.
Os parâmetros da distribuição de Binomial são:
Média Variância
( )E X np ( )Var X npq
11
Considere a situação: De sete pessoas cadastradas 
em um site, 3 concorrerão a prêmios por meio de 
sorteio (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos 
valores representam o número total de mulheres 
dentre as 3 pessoas escolhidas.
12
Em resumo temos:
Notação
X~b(n,p)
xnxx
n qpCxXP
 )(
!)!(
!
xxn
n
C xn 

Função de probabilidade binomial
, para x < n
em que:
n é o número de experiências; p é a probabilidade do sucesso e q=
1 - p é a probabilidade do fracasso;
Média =  = E(x) = n.p
Variância = 2 = n.p.q
Desvio padrão = 2
13
Exemplo 2. Sabe-se que, em uma certa região, 60% dos municípios
possuem usinas de reciclagem de lixo. Cinco cidades são
selecionadas nesta região.
a) Verifique se este experimento se enquadra como binomial
b) Construa a função de probabilidade para o número de cidades
com usinas de reciclagem
c) Calcule a probabilidade de: i) que exatamente 3 cidades tenham
usinas; ii) no máximo 1 tenha usina
d) Determinar o número esperado e o desvio padrão.
14
Exemplo 3: Sabe-se que 20% das plantas expostas a um particular agente
infeccioso adquirem certa doença. Considere um grupo de 4 plantas com
igual exposição ao agente infeccioso. Qual a probabilidade de que, entre
essas 4 plantas:
a) Nenhuma planta adoeça;
b) Todas adoeçam;
c) Ao menos uma adoeça;
15
Distribuição de Poisson
• Adequada às situações onde se deseja saber o número de
sucessos (v. a. discreta) no domínio contínuo.
• Exemplos de experimentos de Poisson:
• Número de telefonemas recebidos por hora em um
escritório;
• Número de bactérias por unidade de área em um
lâmina;
• Número de veículos que passam num cruzamento por
hora;
• Número de mortes por ataque de coração por ano em
Uberlândia;
16
Notação: X ~ Po ()
Função de probabilidade
!
)(
x
exXP
x com X = 0, 1, 2, ....
Media e variância da Poisson




)(
)(
XVar
XEx
17
Exemplo 4: A central de atendimentos de uma operadora de cartões
de crédito recebe denúncias de roubo de cartões à razão de quatro
ligações por hora, no período matutino, em dias úteis.
a) Qual a probabilidade de ocorrem três chamadas em uma hora?
b) Qual a probabilidade de não ocorrer nenhuma chamada num
período de 45 minutos?
c) Qual a probabilidade de ocorrem ao menos duas chamadas no
mesmo período de 45 minutos
18
Exemplo 5: Em momentos de pico, a chegada de aviões a um
aeroporto se dá segundo um modelo Poisson com taxa de 1 por
minuto.
a) Determinar a probabilidade de 3 chegadas em um minuto qualquer
do horário de pico.
b) Se o aeroporto pode atender a 2 aviões por minuto, qual a
probabilidade de haver aviões sem atendimento imediato?
c) Previsões indicam que para o próximo ano o tráfego neste
aeroporto deve dobrar, enquanto que sua capacidade poderá ser
aumentada em 50%. Como ficará a probabilidade de espera?
19
Distribuição Normal
• É o modelo de distribuição de probabilidade mais utilizado na
estatística
• Métodos e técnicas estatísticas paramétricas geralmente
consideram o modelo de distribuição de probabilidade normal.
• Seu gráfico tem a forma campanular (sino)
• É uma distribuição simétrica em relação à média
• É duplamente assintótica em relação ao eixo das abscissas
• Tem dois pontos de inflexão que
correspondem à media ± desvio padrão
- +
20
21
2
1
21( )
2
x
f x e x


 
   
      
- +
( )E X 
(8 11) ?P X  
Exemplo: ~ (10, 4)X N


2( )Var X 
2~ ( , )X N  
210 4   
Definição: Uma v. a. X tem distribuição normal se sua fdp puder
ser descrita por:
A área total abaixo da curva é igual a 1.
22
Distribuição Normal Padrão
X
Z




 integrais podem ser tabeladas!~ (0,1)Z N
2~ ( , )X N  
E(Z)=0
Var (Z)=1
23
A tabela da distribuição normal padrão
z
(0 2,17) ?P Z  
- +0 z
(0 )P Z z 
24
Exemplos de utilização da tabela de Z
( 2,17 0) ?P Z   
25
( 1 2) ?P Z   
26
( 1,5) ?P Z  
27
P(1,5 < Z <2,33)
28
P(Z> z) = 0,0228
P (Z > z) = 0,9505
+
29
Exemplo de uso da tabela:
Calcular as seguintes probabilidades:
a) P(0 < Z < 1,28)
b) P(Z>1,96)
c) P(Z< 2,57)
d) P(Z< - 1,33)
e) P(Z> -1,00)
f) P( -1,00 < Z < 1,45)
g) P( 1,00< Z < 1,96)
30
Exemplo 6: Suponha que, em média, a empresa X transporte 10 t/dia de
esterco orgânico, com desvio padrão de 2 toneladas. Suponha que X tem
distribuição normal. Qual a probabilidade que em um determinado dia a
empresa transporte entre 8 e 11 toneladas?
31
Exemplo 7: Suponha que o tempo de florescimento de uma
determinada orquídea seja normalmente distribuído com média
18 dias e desvio padrão de 3 dias.
a) Qual a probabilidade de que uma planta selecionada
aleatoriamente apresente:
i) tempo de florescimento inferior a 18 dias?
ii) tempo de florescimento superior a 21 dias?
iii) tempo de florescimento entre 15 e 22 dias?
b) Qual é o limite de tempo de florescimento acima do qual
espera-se encontrar 95% das plantas?
c) Qual é o limite de tempo abaixo do qual espera-se encontrar
apenas 10% da plantas?
32
Exemplo 8: A produção de leite de animais de uma fazenda tem
distribuição normal com média de 12 litros e desvio padrão de 3 litros.
i) Qual a probabilidade de selecionarmos um animal e ele produzir:
a) mais de 17 litros?
b) entre 7e 15 litros?
c) pelo menos 14 litros?
ii) O produtor decide utilizar o seguinte critério: 10% dos animais
com as menores produções e 15% dos animais com as maiores
produções serão separados dos demais para tratamento especial.
Utilizando as informações da distribuição normal, qual serão os
limites para a separação?
33
Exemplo 9: Sabe-se que a variável aleatória X, referente ao tempo
gasto na solução de uma determinada prova, tem distribuição normal
com média 40 minutos e desvio padrão de 10 minutos.
a) Qual a probabilidade de uma pessoa gastar de 30 a 50 minutos na
solução da prova?
b) Qual a probabilidade de que uma pessoa gaste gaste mais de 60
minutos?
c) Deseja-se fazer um agrupamento das pessoas da seguinte forma:
Grupo A: 30% das pessoas que realizaram a prova no menor tempo;
Grupo B: 50% seguintes;
Grupo C: 20% restantes;
Quais os limites de tempo esperado para a classificação dos grupos?