Integrais Impróprias

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Cálculo Integral
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profª. Dra. Ana Lúcia Manrique
Revisão Textual:
Profª. Esp. Natalia Conti
Integrais Impróprias
5
• Introdução
• Integrais sobre intervalos infinitos
• Integrais com descontinuidade
Estamos estudando sobre Cálculo Integral. A proposta desta unidade é o estudo de 
maneiras de verificar a possibilidade de determinar a medida da área de regiões 
não fechadas. 
Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de determinar integrais 
impróprias em duas situações: 
Quando temos um intervalo infinito e quando a função tem uma descontinuidade 
infinita no intervalo fechado.
Com relação aos conteúdos, dividimos em:
- Integrais sobre intervalos infinitos
- Integrais com descontinuidade
Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de determinar se uma integral 
imprópria é convergente ou divergente.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, 
além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. 
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo 
para realização das mesmas. 
Integrais Impróprias
6
Unidade: Integrais Impróprias
Contextualização
Nesta unidade estudaremos maneiras de verificar a possibilidade de determinar a medida da 
área de regiões não fechadas.
Consideremos a função ( ) 1=g x
x
 , 0≠x e vejamos seu gráfico.
-2-3-4 -1
-1
-2
-3
1
2
3
0 2 3 4 51
y
x
Vamos imaginar que queremos determinar a integral definida:
2
1
1
∫ dxx
Isto significa que queremos determinar a medida da área da região delimitada pelo gráfico 
da função e o eixo x no intervalo [1,2].
-1
1
0
-1
3
2
4
5
2 3 4 51
y
x
7
Para determinar esta medida devemos calcular a integral indefinida:
∫ = + = ( )
1
x
dx x c G xln .
E voltando à integral definida temos:
1
2
1
2 1∫ = ( ) − ( )x dx G G ,
1
2
1
2 1 2∫ = + − +( ) =x dx c cln ln ln .
Mas se quisermos determinar a medida da área da região delimitada no intervalo [1,4], 
temos que calcular a integral definida:
1
4
1
4 1∫ = ( ) − ( )x dx G G.
Como já determinamos a integral indefinida, podemos calcular esta integral definida:
1
4
1
4 1∫ = ( ) − ( )x dx G G ,
1
4
1
4 1 4∫ = + − +( ) =x dx c cln ln ln .
No entanto, podemos generalizar este resultado considerando um parâmetro 1≥t no 
cálculo desta integral definida. Ou seja, vamos determinar a seguinte integral:
1
1
1
t
x
dx G t G∫ = ( ) − ( ),
1
1
1
t
x
dx t c c t∫ = + − +( ) =ln ln ln .
8
Unidade: Integrais Impróprias
Desta forma, é possível pensar em definir se é possível determinar a medida da área da região 
de limitada pelo gráfico da função e o eixo x no intervalo aberto [ [1,+∞ .Ou seja, queremos 
determinar a integral, que denominaremos de integral imprópria:
1
1
+∞
∫ x dx.
-1
1
0
-1
3
2
4
5
2 3 4 5 6 7 81
y
x
Para determinar esta integral imprópria, necessitaremos dos conceitos de limite de uma 
função no infinito e de limites infinitos.
9
Introdução
Nesta unidade serão estudadas as integrais impróprias em duas situações: 
Quando temos o intervalo infinito e quando a função tem uma descontinuidade infinita no 
intervalo fechado.
Integrais sobre intervalos infi nitos
Neste caso, queremos determinar a integral de uma função em um intervalo infinito. 
Consideremos o gráfico da função ( ) 1
1
=
+
f x
x
 e suponhamos que queremos determinar
a medida da área da região hachurada compreendida entre o eixo x , o gráfico da função e a 
reta vertical 1=x .
-2-3-4-5 -1
-1
-2
1
2
3
0 2 3 41
y
x
Para determinar esta medida de área, vejamos inicialmente a definição de Integral Imprópria 
para o caso de termos um intervalo infinito.
10
Unidade: Integrais Impróprias
Definição Consideremos a função f , não necessariamente positiva, definida em um intervalo infinito.
a) Se ( )∫
t
a
f x dx existe para cada valor ≥t a , então a integral imprópria ( )
∞
∫
a
f x dx é dita 
convergente, se este último limite existir. Caso o limite não exista, a integral imprópria é 
dita divergente.
a
t
a
t
f x dx f x dx
∞
→∞∫ ∫( ) = ( )lim .
b) Se ( )∫
b
t
f x dx existe para cada valor ≤t b , então a integral imprópria ( )
−∞
∫
b
f x dx é dita 
convergente, se este último limite existir. Caso o limite não exista, a integral imprópria é dita 
divergente.
−∞
→−∞∫ ∫( ) = ( )
b
t
t
b
f x dx f x dxlim .
c) Considerando qualquer número real a , se as integrais impróprias ( )
−∞
∫
a
f x dx e ( )
∞
∫
a
f x dx 
são convergentes, então podemos definir a integral imprópria
−∞
∞
−∞
∞
∫ ∫ ∫( ) = ( ) + ( )f x dx f x dx f x dx
a
a
.
11
Vejamos um exemplo.
1 Consideremos a função ( ) 21=f x x para 0≠x .
-2-3-4 -1
-1
1
2
3
4
0 2 3 4 51
y
x
Vamos estudar primeiramente o que representa a integral imprópria
1 1
2
1
∞ ∞
∫ ∫( ) =f x dx x dx.
E vejamos o que representa esta integral no gráfico da função ( )f x .
-2-3-4 -1
-1
1
2
3
4
0 2 3 4 51
y
x
12
Unidade: Integrais Impróprias
Podemos ver que se a integral imprópria é convergente, então é possível determinar a 
medida da área da região hachurada. Vamos calcular a integral imprópria:
1
2
1
2
1 1
∞
→∞∫ ∫=x dx x dxt
t
lim .
Determinemos a integral definida com o parâmetro t:
1
2
1
21
1
t t
x
dx x dx F t F∫ ∫= = ( ) − ( )− .
Primeiramente, determinemos a integral indefinida:
∫ −
−
=
−
+ = − + = ( )x dx x c
x
c F x2
1
1
1
.
E voltando para determinar a integral definida, temos:
1
2
1
1
t
x
dx F t F∫ = ( ) − ( ),
1
2
1 1 1
1
1
1
t
x
dx
t
c c
t∫ = − + − − +





 = − + .
Retomando, agora, a integral imprópria, temos que:
1
2
1
2
1 1 1
1 1
∞
→∞ →∞∫ ∫= = − +





 =x
dx
x
dx
tt
t
t
lim .lim
Portanto, verifi camos que a medida da área hachurada no gráfi co da função ( ) 2
1
=f x
xpara 1≥x é igual a 1 u.a. E podemos dizer que a integral imprópria é convergente.
1
2
1
1
∞
∫ =x dx .
13
Vejamos mais um exemplo:
2 Consideremos a função ( ) 1=g x x para 0≠x .
-2-3-4-5 -1
-1
-2
-3
1
2
3
0 2 3 41
y
x
Vamos determinar a integral imprópria:
1
1∞
∫ dxx
ou seja, queremos determinar o limite, com 1≥t :
1 1
1 1
∞
→∞∫ ∫=x dx x dxt
t
lim .
Assim, devemos primeiramente determinar a integral indefinida:
∫ = + = ( )
1
x
dx x c G xln .
E voltando à integral definida, temos:
1
1
1
t
x
dx G t G∫ = ( ) − ( ),
1
1
1
t
x
dx t c c t∫ = + − +( ) =ln ln ln .
E determinando o limite da integral imprópria, temos:
1 1
1 1
∞
→∞ →∞∫ ∫= = = ∞x dx x dx tt
t
t
lim ln .lim
14
Unidade: Integrais Impróprias
Ou seja, verificamos que a integral imprópria é divergente. Isso quer dizer que a região hachurada 
não tem uma medida de área finita. Embora a região hachurada da função ( ) 1=g x
x
, para 1≥x , seja 
parecida com a região hachurada da função ( ) 2
1
=f x
x
 para 1≥x , verificamos que esta segunda 
região não possui área finita. Isto pode ser entendido porque o gráfico da função ( ) 2
1
=f x
x
 se 
aproxima mais rápido do eixo x, quando ,→ +∞x que a função ( ) 1=g x
x
.
Integrais com descontinuidade
Neste caso, queremos determinar a integral de uma função que possui uma descontinuidade 
infinita no intervalo fechado.
Consideremos o gráfico da função ( ) 2
1
=f x
x
 e suponhamos que queremos determinar a 
medida da área da região compreendida entre o eixo x e o gráfico da função, no intervalo [ ]1,1− .
-5 -2,5
2,5
5
7,5
10
0 52,5
y
x
Para tentar determinar esta medida de área, vejamos a definição para integral imprópria 
quando a função tem uma descontinuidade infinita no intervalo fechado.
15
Definição Consideremos a função f ,não necessariamente positiva.
a) Se f é contínua no intervalo [ [,a b e f é descontínua em b , então a integral imprópria 
( )∫
b
a
f x dx é dita convergente e
( ) ( )lim
−→
=∫ ∫
b t
t b
a a
f x dx f x dx se este último limite existir. Caso o limite não 
exista, a integralimprópria é dita divergente.
b) Se f é contínua no intervalo ] ],a b e f é descontínua em a , então a integral imprópria 
( )∫
b
a
f x dx é dita convergente e
( ) ( )lim
+→
=∫ ∫
b b
t a
a t
f x dx f x dx se este último limite existir. Caso o limite não 
exista, a integral imprópria é dita divergente.
c) Se f é contínua no intervalo [ ],a b , exceto em =x c , para < <a c b (isto significa que f 
é descontínua em =x c ), então a integral imprópria ( )∫
b
a
f x dx é dita convergente se as integrais 
impróprias ( )∫
c
a
f x dx e ( )∫
b
c
f x dx forem convergentes. E definimos que:
a
b
a
c
c
b
f x dx f x dx f x dx∫ ∫ ∫( ) = ( ) + ( ) .
Vejamos um exemplo.
1 Consideremos a função ( ) 1
1
=
+
f x
x
 para x ≠ −1.
Vamos estudar, primeiramente, o que representa a integral imprópria 
− −
∫ ∫( ) = +
1
1
1
1
1
1
f x dx
x
dx.
16
Unidade: Integrais Impróprias
Vejamos o gráfico da função e a região delimitada para o cálculo da integral imprópria.
-2-3-4 -1
-1
-2
1
2
3
4
0 2 3 4 51
y
x
Podemos ver que se a integral imprópria é convergente, então é possível determinar a 
medida da área da região hachurada. Vamos calcular a integral imprópria:
−
∫ +
1
1
1
1x
dx.
Podemos verificar, ao analisar o gráfico da função, que temos a situação apresentada no 
item b) da definição de integral imprópria do tipo de integral que possui descontinuidade 
devido à função não ser contínua em 1= −x . Então, queremos determinar:
−
→−∫ ∫+ = ( )+
1
1
1
1
1
1x
dx f x dx
t
t
lim .
Determinemos a integral definida com o parâmetro t:
t x
dx F F t
1
1
1
1∫ + = ( ) − ( ).
Primeiramente, determinemos a integral indefinida considerando 1>x :
∫ + = +( ) + = ( )
1
1
1
x
dx x c F xln .
Voltando para determinar a integral definida, temos:
t x
dx F F t
1
1
1
1∫ + = ( ) − ( ),
t x
dx c t c t
1
1
1
1 1 1 2 1∫ + = +( ) + − +( ) +( ) = − +( )ln ln ln ln .
17
Retomando, agora, à integral imprópria, temos que:
−
→− →−∫ ∫+ = ( ) = − +( )( ) = +∞+ +
1
1
1
1
1
1
1
2 1
x
dx f x dx t
t
t
t
lim ln ln .lim
Portanto, verifi camos que a medida da área hachurada no gráfi co da função
 
1
1
1
1− +
∫ dxx 
é divergente.
Vejamos mais um exemplo.
2 Consideremos novamente a função ( ) 1 1= +f x x para 1≠ −x .
Vamos estudar, primeiramente, o que representa a integral imprópria 
− −
∫ ∫( ) = +
2
1
2
1
1
1
f x dx
x
dx.
Vejamos o gráfico da função.
-2-3-4-5 -1
-1
-2
1
2
3
0 2 3 41
y
x
Podemos verificar, ao analisar o gráfico da função, que temos a situação apresentada no 
item c) da definição de integral imprópria do tipo de integral que possui descontinuidade, 
devido à função não ser contínua em 1= −x . Assim, queremos determinar:
− −
−
−
∫ ∫ ∫+ = + + +
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1x
dx
x
dx
x
dx.
Como já verificamos que uma das integrais impróprias do segundo membro é divergente, 
então temos que a primeira integral imprópria 
1
2
1
1− +
∫ dxx é divergente.
18
Unidade: Integrais Impróprias
Atenção
Com este exemplo, percebemos que devemos ter atenção quando vamos 
determinar a integral defi nida em um intervalo fechado [ ],a b , pois é necessário 
verifi car se não corresponde a um caso de descontinuidade, ou seja, se a função 
não apresenta uma descontinuidade no interior do intervalo fechado [ ],a b .
Exemplos
1 Verifique se a integral imprópria é divergente ou convergente:
4
1
+∞
∫ x dx.
Resolução: Vejamos, primeiramente, o gráfico da função.
-1
1
0
-1
3
2
4
2 3 4 5 61
y
x
Podemos verificar, ao analisar o gráfico da função, que temos a situação apresentada no 
item a) da definição de integral imprópria do tipo de ter um intervalo infinito, [ [4,+∞ . Desse 
modo, queremos determinar:
4 4
1 1
+∞
→+∞∫ ∫=x dx x dxt
t
lim .
Determinemos, primeiramente, a integral indefinida:
∫ ∫= =
−
+ = + = ( )−
−
1
1
1
2
2
1 2
1 1 2
x
dx x dx x c x c F x/
/
.
19
E agora, determinemos a integral definida:
4
1
4
t
x
dx F t F∫ = ( ) − ( ),
4
1
2 2 4 2 4 2 2
t
x
dx t c c t t∫ = + − +( ) = − = −( ).
E determinemos o limite da integral imprópria:
4 4
1 1
+∞
→+∞∫ ∫=x dx x dxt
t
lim ,
4
1
2 2
+∞
→+∞∫ = −( ) = +∞x dx ttlim .
Sendo assim, a integral imprópria 
4
1+∞
∫ dxx diverge.
2 Verifique se a integral imprópria é divergente ou convergente:
−
∫
2
2
2
1
x
dx.
Resolução: Vejamos, primeiramente, o gráfico da função.
-2-3-4 -1
-1
1
2
3
4
5
0 2 3 4 51
y
x
Podemos verificar, ao analisar o gráfico da função, que temos a situação apresentada no 
item c) da definição de integral imprópria, quando a função tem uma descontinuidade infinita 
no intervalo fechado. Para determinar a integral imprópria precisamos determinar duas outras 
integrais impróprias, uma integral do tipo do subitem a) e outro do tipo do subitem b):
− −
∫ ∫ ∫= +
2
2
2
2
0
2
0
2
2
1 1 1
x
dx
x
dx
x
dx.
20
Unidade: Integrais Impróprias
Vamos determinar uma das duas integrais impróprias: 
−
→
−
∫ ∫= ( )−
2
0
2
0
2
1
x
dx f x dx
t
t
lim .
Determinemos, primeiramente, a integral indefi nida:
∫ ∫= = − + = − + = ( )
−
−
1
1
1
2
2
1
x
dx x dx x c
x
c F x .
E agora, determinemos a integral defi nida:
−
∫ = ( ) − −( )
2
2
1
2
t
x
dx F t F ,
−
∫ = − + − − − +





 = − −
2
2
1 1 1
2
1 1
2
t
x
dx
t
c c
t
.
E determinemos o limite da integral imprópria:
−
→
−
∫ ∫= ( )−
2
0
2
0
2
1
x
dx f x dx
t
t
lim ,
−
→∫ = − −





 = +∞−
2
0
2
0
1 1 1
2x
dx
tt
lim .

Lembrar que lim
t t→ −
= −∞
0
1
.
Assim, a integral imprópria
 
0
2
2
1
−
∫ dxx 
diverge, logo a integral imprópria
 
2
2
2
1
−
∫ dxx também diverge.
Atenção
É necessário lembrar dos conceitos de limite para determinar 
estas integrais impróprias.
21
Para calcular o limite deste exercício, verifiquemos o gráfico da função
g x
x
( ) = 1 .
-2-3-4 -1
-1
-2
-3
1
2
3
0 2 3 4 51
y
x
Analisando o gráfico desta função, é possível dizer que:
lim
x x→ −
= −∞
0
1
,
lim
x x→ +
= ∞
0
1
.
Perceber que estamos determinando os limites próximos do valor 0 e não no infinito. 
Lembremos os limites desta função quando →∞x :
lim
x x→+∞
=
1
0,
lim
x x→−∞
=
1
0.
22
Unidade: Integrais Impróprias
3 Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente:
−
∫
1
1
3
1
x
dx.
Resolução: Vejamos, primeiramente, o gráfico da função.
-2-3-4 -1
-1
-2
-3
1
2
3
0 2 3 4 51
y
x
Podemos verificar, ao analisar o gráfico da função, que temos a situação apresentada no item c) 
da definição de integral imprópria quando a função tem uma descontinuidade infinita no intervalo 
fechado. Sendo assim, para determinar a integral imprópria, precisamos determinar duas outras 
integrais impróprias, uma integral do tipo do subitem a) e outro do tipo do subitem b):
− −
∫ ∫ ∫= +
1
1
3
1
0
3
0
1
3
1 1 1
x
dx
x
dx
x
dx.
Vamos determinar uma das duas integrais impróprias:
0
1
3
0
1
3
1 1
∫ ∫= → +x dx x dxt t
lim .
Determinemos, primeiramente, a integral indefinida:
∫ ∫= = − + = − + = ( )
−
−
1
2
1
2
3
3
2
2x
dx x dx x c
x
c F x .
E agora, determinemos a integral definida:
t x
dx F F t
1
3
1
1∫ = ( ) − ( ),
t x
dx c
t
c
t t
1
3 2 2 2 2
1 1
2 1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1∫ = − + − − +


 = − + = −






.
.
23
E determinemos o limite da integral imprópria:
0
1
3
0
1
3
1 1
∫ ∫= → +x dx x dxt t
lim ,
0
1
3
0
2
1 1
2
1
1∫ = −


 = +∞
→ +x
dx
tt
lim .

Lembrar que
 
lim
t t→ +
= +∞
0
2
1
.
Então, a integral imprópria
 
1
3
0
1
∫ dxx 
diverge, logo a integral imprópria
 
1
3
1
1
−
∫ dxx também diverge.
24
Unidade: Integrais Impróprias
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Integral, consulte o site e as referências a 
seguir.
Sites:
Introdução a integrais impróprias - https://goo.gl/u54Vvc
Integral imprópria com dois limites infinitos - https://goo.gl/hV72Tw
Integral imprópria divergente - https://goo.gl/jMEOqq
Livros:
ANTON, H.Cálculo, Um Novo Horizonte. v.1. Porto Alegre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v.1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.
THOMAS, G. Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
25
Referências
Referências Básicas:
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre, RS: Bookman, 2002.
STEWART, J. Cálculo, volume I. 4a ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 2001.
LARSON, R.; HOSTETLER, R.P.; EDWARDS, B.H. Cálculo, volume 1. São Paulo: McGraw-
Hill, 2006.
Referências Complementares:
FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: Funções, limite, derivada, 
integração. 5a. Ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. Ed. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
26
Unidade: Integrais Impróprias
Anotações