Capacitores e Indutores

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Capacitores e Indutores 
Prof. Dr. Rafael Rorato Londero 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Ementa do Curso 
• Resposta Transitória de Circuitos de 1ª e 2ª 
Ordem 
• Ressonância 
• Circuitos Magneticamente Acoplados 
• Transformada de Laplace 
• Quadripolos 
Referências 
• Alexander, C.K.; Sadiku, M.N.O., Fundamentos de 
Circuitos Elétricos, 5ª ed., Bookman, 2013. 
 
• Dorf, R.C.; Svoboda, J.A., Introdução aos Circuitos 
Elétricos, 8ª ed., LTC, 2012. 
 
 
Método de Avaliação 
 A Nota Final NF é calculada por: 
 NF = 0,8·Av + 0,2·Lab 
 onde, 
 AV: média das avaliações; 
 Lab: média dos relatórios de laboratórios (4 alunos). 
 
 Caso o aluno obtenha NF < 6 será aplicada uma 
avaliação substitutiva da menor nota das avaliações 
sobre todo o conteúdo ministrado. 
Datas das Avaliações 
• 1ª Avaliação: 25/03/2022 
• 2ª Avaliação: 11/04/2022 
• 3ª Avaliação: 29/04/2022 
• 4ª Avaliação: 13/05/2022 
• 5ª Avaliação: 06/06/2022 
• 6ª Avaliação: 27/06/2022 
• Avaliação Substitutiva: 01/07/2022 
Horário das Atividades 
Dia da Semana SEG TER QUA QUI SEX 
Horário 13:50 
15:30 
- - - 13:50 
15:30 
Sala Virtual meet.google.com/jpg-ekpa-hde 
Atendimento rafaellondero@professores.utfpr.edu.br 
Moodle EL41D _Análise de Circuitos Elétricos 2_E41/E42 
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Conteúdo 
1. Funções de Singularidade 
 1.1 Função Degrau Unitário 
 1.2 Função Impulso Unitário 
 1.3 Função Rampa Unitária 
2. Capacitor 
 2.1 Energia Armazenada no Capacitor 
 2.2 Associação de Capacitores 
3. Indutor 
 3.1 Energia Armazenada no Indutor 
 3.2 Associação de Indutores 
4. Condições Iniciais e Finais 
 
1. Funções de Singularidade 
 Matematicamente, são funções descontínuas ou que 
possuem derivadas descontinuas. São utilizadas para 
descrever comutações ou chaveamentos. 
 
 As principais funções de singularidade são: 
 1.1 Função Degrau Unitário 
 1.2 Função Impulso Unitário 
 1.3 Função Rampa Unitária 
1.1 Função Degrau Unitário 
 A função degrau unitário u(t) é zero para t < 0, igual a 
1 para t > 0 e indefinida para t = 0. 
1.1 Função Degrau Unitário 
 A função degrau é utilizada para representar a 
comutação em um circuito elétrico. 






0,
0,0
)(
0 tV
t
tv
1.1 Função Degrau Unitário 
 A função degrau unitário u(t) pode deslocada para 
instantes diferentes de t = 0. 






0
0
0
,1
,0
)(
tt
tt
ttu






0
0
0
,1
,0
)(
tt
tt
ttu
Exemplo 1.1: Pulso Retangular 
 Escreva o pulso retangular de tensão v(t) da figura 
abaixo em termos da função degrau unitário u(t). 
Exemplo 1.1: Pulso Retangular 
 Graficamente podemos perceber que o pulso 
retangular pode ser representado pela soma de duas 
funções degrau conforme a figura abaixo. 
= 
)5(10)2(10)(  tututv
1.2 Função Impulso Unitário 
 A função impulso unitário δ(t) pode ser vista como 
um pulso de duração muito curta, de área unitária. 
11 


T
TArea
1.2 Função Impulso Unitário 
 Se a área do pulso retangular de duração 
infinitesimal é unitária. Então, 
 
 
 
 Esse resultado é muito útil na amostragem de sinais 
em sistemas digitais. 
 
propriedade da amostragem 
f(t) 
t 
t0 t1 
f(t0) 
f(t1) 
)()()( 00 tfdttttf
a
b
 
1)( 
b
a
dtt
Exemplo 1.2: Derivada do Pulso Retangular 
 Calcule e esboce graficamente a derivada do pulso 
retangular v(t) da figura abaixo. 
Exemplo 1.2: Derivada do Pulso Retangular 
 A derivada do pulso retangular pode ser calculada 
como: 
 )5(10)2(10  tutu
dt
d
dt
dv
)5(10)2(10  tt
dt
dv

   )5(10)2(10  tu
dt
d
tu
dt
d
dt
dv
1.3 Função Rampa Unitária 
 A função rampa unitária é zero para t < 0 e igual a 
t para t > 0, ou seja, possui inclinação unitária. 
)()()(
0
tutdttutr
t
 
1.3 Função Rampa Unitária 
 A função rampa também pode ser atrasada ou 
adiantada no tempo. 






00
0
0
,
,0
)(
tttt
tt
ttr
)()()( 000 ttuttttr 






00
0
0
,
,0
)(
tttt
tt
ttr
)()()( 000 ttuttttr 
Exemplo 1.3: Função Dente de Serra 
 Expresse a função dente de serra v(t) em termos das 
funções de singularidade. 
Exemplo 1.3: Função Dente de Serra 
 A função dente de serra pode ser vista como o 
produto entre a função rampa e um pulso retangular 
de duração igual ao da função dente serra. 
t 
10 
2 
x(t) = 5t 
t 
1 
2 
= X 
p(t) = u(t) – u(t – 2) 
Exemplo 1.3: Função Dente de Serra 
 Analiticamente, a função dente de serra v(t) será 
dada por: 
)()()( tptxtv 
)]2()([5)(  tututtv
)2(5)(5)(  ttuttutv
)2()22(5)(5)(  tuttrtv
)2(10)2()2(5)(5)(  tututtrtv
)2(10)2(5)(5)(  tutrtrtv
2. Capacitor 
 Um capacitor é um componente de circuito elétrico 
formado por placas paralelas entre um material 
isolante denominado dielétrico. 
2. Capacitor 
 Considere um capacitor percorrido por corrente 
elétrica, conforme a figura abaixo. 
E

q
q
0 qqQtotal
vCq 


v
Capacitância [F] 
Carga [C] Tensão [V] 
Um capacitor é um componente 
de circuito elétrico que acumula 
carga elétrica em suas placas. 
2. Capacitor 
 Se tomarmos a derivada em relação ao tempo da 
carga acumulada em um capacitor, teremos: 
 
 
 
 
 Para um circuito em corrente contínua, cuja tensão é 
constante, temos: 
vCq 
dt
dv
C
dt
dq

dt
dv
Ci 
0i
Em Corrente Contínua, o capacitor é um circuito aberto. 
2.1 Energia Armazenada no Capacitor 
 A potência elétrica é calculada por: 
 
 Mas, a potência é a taxa de variação da energia, 
)()()( titvtp 
dt
dW
tp e)(
dt
dv
Ctv
dt
dWe  )(
)()( titv
dt
dWe 
dvtvCdWe )(
  dvtvCWe )(
)(
2
1
)( 2 tvCtWe 
2.2 Associação de Capacitores 
• Associação em Série: 
321 vvvv 
3
3
2
2
1
1
C
q
C
q
C
q
C
q
eq

321 qqqq 
321
1111
CCCCeq

2.2 Associação de Capacitores 
• Associação Paralelo: 
321 iiii 
dt
dv
C
dt
dv
C
dt
dv
Ci 33
2
2
1
1 
 
dt
dv
CCCi 321 
dt
dv
Ci eq
321 CCCCeq 
3. Indutor 
 Indutores são componentes de circuitos elétricos 
formados por um núcleo magnético e um 
enrolamento. 
Enrolamento 
Núcleo 
Laminações 
3. Indutor 
 Os indutores seguem o princípio básico da Lei de 
Indução Magnética de Faraday: 
dt
d
e

Tensão [V] 
Fluxo magnético [Wb] 


)(tv
)(ti
)(t
iL 
Indutância [H] (Henry) 
dt
di
Lv 
3. Indutor 
 Considere um indutor submetido a uma corrente 
contínua. Então, 
 
 
 
 
 
dt
di
Lv  0v
Em Corrente Contínua, o indutor é um curto-circuito. 
3.1 Energia Armazenada no Indutor 
 A potência elétrica é calculada por: 
 
 Mas, a potência é a taxa de variação da energia, 
)()()( titvtp 
dt
dW
tp m)(
)(ti
dt
di
L
dt
dWm 
)()( titv
dt
dWm 
ditiLdWm )(
  ditiLWm )(
)(
2
1
)( 2 tiLtWm 
3.2 Associação de Indutores 
• Associação Série: 
321 vvvv 
dt
di
L
dt
di
L
dt
di
Lv 33
2
2
1
1 
 
dt
di
LLLv 321 
dt
di
Lv eq
321 LLLLeq 
3.2 Associação de Indutores 
• Associação Paralelo: 
321 iiii 
    dtL
v
dt
L
v
dt
L
v
dt
L
v
eq 3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
L
v
L
v
L
v
L
v
eq
321
1111
LLLLeq

dt
di
Lv   dtL
v
i
4. Condições Iniciais e Finais 
• Inércia de Tensão no Capacitor 
 
 
 
 Se fizermos ∆t → 0, v(t) transforma-se no degrau e 
i(t) no impulso. Desse modo, a corrente tende ao 
infinito e fisicamente não existe. Portanto, 
dt
dv
Ci 
A tensão no capacitor não pode variar instantaneamente. 
)0()0(   vv
t
t
V
v o 






4. Condições Iniciais e Finais 
• Inércia de Corrente no Indutor 
 
 
 
 Se fizermos ∆t → 0, i(t) transforma-se no degrau e 
v(t) no impulso. Desse modo, a tensão tende ao 
infinito e fisicamente não existe. Logo, 
dt
di
Lv 
A corrente no indutor não pode variar instantaneamente. 
)0()0(   ii
Resumo 
Exemplo 4.1: Condições Iniciais e Finais 
 Para o circuito abaixo, a chave permaneceu fechada 
por um longo tempo e depois foi aberta em t = 0. 
Encontre: 
(a) i(0+) e v(0+); 
(b) di(0+)/dt e dv(0+)/dt; 
(c) i(∞) e v(∞) 
 
Exemplo 4.1: Condições Iniciais e Finais 
(a) Vamos considerar o circuito em regime permanente 
CC para (t = 0-). Nessa situação, o capacitor é um 
circuito aberto e o indutor um curto-circuito. 
)0(2)0(   iv
Aii 2)0()0(  
Ai 2
24
12
)0( 


Vv 422)0( 
Vvv 4)0()0(  
Exemplo 4.1: Condições Iniciais e Finais 
(b) Conhecidas as condições iniciais, podemos calcular 
di(0+)/dt e dv(0+)/dt com o circuito com a chave 
aberta (t = 0+). 
dt
dv
CiC
)0(
)0(

 
C
i
dt
dv C )0()0(


sV
dt
dv
/20
1,0
2)0(


Exemplo 4.1: Condições Iniciais e Finais 
 Para calcular di(0+)/dt vamos aplicar a Lei das Malhas 
ao circuito anterior. 
dt
di
LvL
)0(
)0(

 
L
v
dt
di L )0()0(


0
)0(


dt
di
0)0()0()0(412   vvi L
04)0(2412  Lv
0)0( Lv
Exemplo 4.1: Condições Iniciais e Finais 
(c) Para determinar as condições finais, vamos 
considerar o circuito em regime permanente CC, 
sendo o indutor um curto-circuito e o capacitor um 
circuito aberto; após muito tempo com a chave 
aberta. 
0)( i
Vv 12)( 
Exemplo 4.2: Comutação com Degrau 
 O circuito abaixo encontra-se em regime permanente 
para t < 0. Calcule: 
(a) iL(0
+), vC(0
+) e vR(0
+); 
(b) diL(0
+)/dt, dvC(0
+)/dt e dvR(0
+)/dt; 
(c) iL(∞), vC(∞) e vR(∞). 
 
 
Exemplo 4.2: Comutação com Degrau 
(a) Primeiramente vamos calcular iL(0
-) e vC(0
-). Nesse 
caso, para t < 0, a função degrau é zero. 
0)0()0(   LL ii
Vvv CC 20)0()0( 

Exemplo 4.2: Comutação com Degrau 
 Para calcular vR(0+) devemos considerar o circuito 
para t > 0, pois o resistor não possui inércia de 
tensão. Nesse caso, para t > 0, a função degrau é 
unitária. 
)0( Lv
20)0()0(   CL vv
2020)0( Lv
0)0( Lv
Exemplo 4.2: Comutação com Degrau 
 Desse modo, podemos simplificar o circuito anterior. 
)0()0(   RR iRv
)0(2)0(   RR iv
)0( Ri
s
eq
R I
R
R
i  )0(




3
4
42
42
4//2eqR
A23
2
3
4

VvR 4)0( 

Exemplo 4.2: Comutação com Degrau 
(b) Novamente, para calcular diL(0
+)/dt, dvC(0
+)/dt e 
dvR(0
+)/dt, vamos considerar o circuito para t > 0. 
C
i
dt
dv CC )0()0(


)0()0()0(   LC iii
)0()0(
4
)0()0( 



LC
LR ii
vv
0)0(
4
04

 
Ci
AiC 1)0( 

sV
dt
dvC /2
2
1
1)0(


Exemplo 4.2: Comutação com Degrau 
 Vamos aplicar a Lei dos Nós no ponto a: 
Ri
iiR 3
dt
di
R
dt
dv RR )0()0(


4
3 LRR
vv
i


  




 

4
3 LRR
vv
i
dt
d
dt
d
dt
dv
dt
dv
dt
di LRR )0(
4
1)0(
4
1)0(
0


dt
di
dt
dv RR )0(2
)0( 

Exemplo 4.2: Comutação com Degrau 
 Continuando, 
 
 
 
dt
dv
dt
dv
dt
dv LRR )0(
4
1)0(
4
1)0(
2
1
0


dt
dv
dt
dv
dt
dv LRR )0(
4
1)0(
4
1)0(
2
1 

dt
dv
dt
dv
dt
dv LRR )0()0()0(2


dt
dv
dt
dv LR )0(
3
1)0( 

Exemplo 4.2: Comutação com Degrau 
 Porém, sabemos que: 
Lv 20 CL vv
   20 CL v
dt
d
v
dt
d
dt
dv
dt
dv CL )0()0(


sV
dt
dvL /2
)0(


sV
dt
dv
dt
dv LR /
3
2)0(
3
1)0(


0
)0()0(


L
v
dt
di LL
Exemplo 4.2: Comutação com Degrau 
(c) Para calcular as condições finais, vamos considerar o 
circuito em regime permanente CC para t → ∞. 
Ri
AI
R
R
i s
eq
R 23
2
3
4
)( 
AI
R
R
i s
eq
L 13
4
3
4
)( 
VvC 20)( 
  ViRv RR 422)( 