Aula13EDL-EqOrdemSuperior

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 13 - Equações Lineares de Ordem Mais Alta (superior)
Equações Lineares de Ordem n
Forma Normal.
dny
dtn
+p1(t)
dn−1y
dtn−1
+p2(t)
dn−2y
dtn−2
+ · · ·+pn−1(t)d
1y
dt1
+pn(t)y = g(t) ,
ou
y (n)+p1(t)y (n−1)+p2(t)y (n−2)+ · · ·+pn−1(t)y ′+pn(t)y = g(t) .
pj , j = 1,2 . . . ,n e g: funções dadas num intervalo I.
Problema de Valores Iniciais (PVI)
y(t0) = y0,y ′(t0) = y1, · · · ,y (n−1)(t0) = yn−1 .
t0 ∈ I: ponto inicial; y0,y1, . . . ,yn−1: valores dados.
O Teorema de Existência e Unicidade
Hipóteses: pj , j = 1,2 . . . ,n e g: contínuas num intervalo
comum I.
Tese: O Problema de Valores Iniciais (PVI)
y (n)+p1(t)y (n−1)+p2(t)y (n−2)+ · · ·+pn−1(t)y ′+pn(t)y = g(t) ,
y(t0) = y0,y ′(t0) = y1, . . . ,y (n−1)(t0) = yn−1 , t0 ∈ I ,
possui uma única solução definida no mesmo intervalo I.
Exemplo 1. Determine intervalos onde com certeza existem
soluções únicas das equações.
(a) ty ′′′+sen(t)y = cos(t), (b) (t2−4)y (6)+ t2y ′′′+9y = 0,
(c) t(t−1)y (4)+ety ′′+4t2y = 0, (d) y ′′′+ ty ′+ t2y = ln(t).
Soluções Fundamentais da Equação Homogênea
y (n)+p1(t)y (n−1)+p2(t)y (n−2)+· · ·+pn−1(t)y ′+pn(t)y =0 . (H)
Princípio da Superposição. Se φ1,φ2, . . .φn são soluções de
(H), então a combinação linear ∑nj=1 cj φj também é solução de
(H), para quaisquer constantes cj , j = 1,2, . . .n.
O determinante Wronskiano.
W [φ1,φ2, . . .φn](t) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
φ1(t) φ2(t) · · · φn(t)
φ ′1(t) φ
′
2(t) · · · φ ′n(t)
...
... · · · ...
φ (n−1)1 (t) φ
(n−1)
2 (t) · · · φ (n−1)n (t)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Definição: Se φ1,φ2, . . .φn são soluções de (H) e se
W [φ1,φ2, . . .φn](t) 6= 0, ∀ t ∈ I, então {φ1,φ2, . . .φn}é um
conjunto fundamental de soluções de (H) no intervalo I.
Solução Geral da Equação Homogênea
y (n)+p1(t)y (n−1)+p2(t)y (n−2)+· · ·+pn−1(t)y ′+pn(t)y =0 . (H)
Se {φ1,φ2, . . .φn}é um conjunto fundamental de soluções de
(H) no intervalo I, então a solução geral de (H) é dada por
y(t) =
n
∑
j=1
cj φj(t) , c1,c2, . . . ,cn : constantes reais.
Exemplo 2. Verifique se as funções dadas são soluções da
equação diferencial. Se forem, escreva a solução geral da
mesma.
(a) y ′′′+y ′ = 0, t > 0, φ1(t) = 1, φ2(t) = cos(t), φ3(t) = sen(t).
(b) ty ′′′−y ′′ = 0, φ1(t) = 1, φ2(t) = t , φ3(t) = t3.
Resolução de EDLs de ordem n homogênea
de coeficientes constantes.
(HCC) a0y (n)+a1y (n−1)+ · · ·+an−1y ′+any = 0 ,
aj , j = 1,2, . . . ,n constantes, com a0 6= 0.
Sejam r1, r2, . . . , rn as raizes da Equação Característica:
a0rn+a1rn−1+ · · ·+an−1r +an = 0.
Caso I. Se r1, r2, · · · rn são raizes reais diferentes entre si, então a
solução geral de (HCC) é
y(t)= c1er1t+c2er2t+· · ·+cn ernt , c1, . . . ,cn constantes reais.
Exemplo I. Determine a solução geral das equações:
(a) y (4)−5y ′′+4y = 0, (b) y ′′′+2y ′′−y ′−2y = 0.
Resolução de EDLs de ordem n homogênea
de coeficientes constantes.
Caso II. Se rk = λ + iµ e rk+1 = λ − iµ, com 1≤ k ≤ n, λ ∈ R,
µ ∈ R, µ 6= 0, então a solução geral de (HCC) é
y(t) =c1φ1(t)+ · · ·+ck−1φk−1(t)+
eλ t [ck cos(µt)+ck+1sen(µt)]+
ck+2φk+2(t)+ · · ·+cnφn(t) .
c1, . . . ,cn constantes reais e φ1, . . . ,φk−1,φk+2, . . . ,φn outras
soluções LI de (HCC).
Exemplo II. Determine a solução dos PVIs:
(a) y ′′′+y ′ = 0, y(0) = 0, y ′(0) = 1, y ′′(0) = 2.
(b) y (4)+y = 0, y(0) = 0, y ′(0) = 0, y ′′(0) =−1, y ′′′(0) = 0.
Caso III. Se rk = rk+1 = · · ·= rk+s, 1≤ k ≤ n−s é uma raiz real de
multiplicidade s, então a solução geral de (HCC) é
y(t) =c1φ1(t)+ · · ·+ck−1φk−1(t)+
erk t
[
ck +ck+1t+ · · ·+ck+(s−1)ts−1
]
+
ck+sφk+s(t)+ · · ·+cnφn(t) .
com c1, . . . ,cn constantes reais e φ1, . . . ,φk−1,φk+s, . . . ,φn
outras soluções LI de (HCC).
Exemplo III. Determine a solução geral de:
(a) y ′′′−3y ′′+3y ′−y = 0, (b) y (4)−4y ′′′+4y ′′ = 0,
(c) y (4)−2y ′′+y = 0.
Exercício. Generalize o caso III para raizes complexas com
multiplicidade e obtenha a solução geral da equação
y (4)+2y ′′+y = 0.