Questão resolvida - Uma especie de baleia tem sua relação comprimento peso dada por M(L)28,56L^4, sendo M(L) o peso em quilogramas e L o comprimento em metros A taxa de crescimento do comprimento L da

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• Uma especie de baleia tem sua relação comprimento peso dada por 
, sendo o peso em quilogramas e o comprimento em M L = 28, 56L( ) 4 M L( ) L
metros. A taxa de crescimento do comprimento da baleia em relação ao tempo é L t
dada pela seguinte relação;
 
= 0, 48 25 - L
dL
dt
( )
 Onde é medido em anos.t
 
Determine:
 
a) Qual é o comprimento máximo que tal espécie de baleia pode atingir?
 
b) Qual o comprimento de uma baleia que pesa 1, 5 toneladas?
 
c) Determine uma fórmula, usando a regra da cadeia, para a taxa de crescimento do peso 
 em função do seu comprimento .
dM
dt
L
 
d) Estime a taxa de crescimento aproximado do peso, usando a fórmula obtida no item 
anterior, para uma baleia que pesa toneladas.1, 5
 
Resolução:
 
a) 
 A expressão que fornece o comprimento da baleia em relação ao tempo decrescente 
dL
dt
, dessa forma, a primitiva é uma parábola com concavidade voltada para baixo, a < 0( ) L t( )
com isso a função tem apenas um ponto crítico e esse ponto é de máximo, assim, o L t( )
 acontece quando a derivada é igual a zero, ou seja;LMáx
 
0, 48 25 - L = 0 25 - L = 25 - L = 0 -L = - 25 × -1( Máx) → Máx
0
0, 48
→ Máx → ( Máx ) ( )
 
 
 
L = 25 metrosMáx
 
b)
 
Para achar o comprimento da baleia, usamos a ralação , mas, primeiro, devemos M L( )
passar o peso de toneladas para kilogramas;
 
1, 5 toneladas = 1500 Kg
 
Substituindo e resovendo para , temos:L
 
1500 = 28, 56L 28, 56L = 1500 L = L =4 → 4 → 4
1500
28, 56
→
1500
28, 56
 
L ≅ 2, 69 metros
 
c)
 
Usando a regra da cadeia, temos que a taxa de variação do peso da baleia em função do 
tempo é:
 
=
dM
dt
dM
dL
dL
dt
 
Assim, devemos encontrar a derivada do peso em função do comprimento (a derivada 
dM
dL
 já foi dada);
dL
dt
 
M L = 28, 56L = 4 ⋅ 28, 56L = 114, 24L( ) 4 →
dM
dL
3
→
dM
dL
3
Com isso, a fórmula da taxa de variação do peso em função do tempo fica;
 
= 114, 24L ⋅ 0, 48 25 - L
dM
dt
3 ( )
 
 
 
4
(Resposta )
(Resposta )
= 54, 84L 25-L
dM
dt
3( )
 
d)
 
No item b, conhecemos o comprimento da baleia quando o peso é L = 2, 69 m( ) 1, 5
toneladas, dessa forma, para o comprimento encontrado e usando a fórmula encontrada no 
item anterior, temos que;
 
= 54, 84 2, 69 25 - 2, 69
dM
dt
( )3( )
 
≅ 23810, 84 ou 23, 81 
dM
dt
kg
Ano
t
Ano
 
 
(Resposta )
(Resposta )