Equação do Segundo Grau - Exercícios Resolvidos

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1 
 
 
RESUMO: 
Dada uma equação do segundo grau 2 0ax bx c+ + = , com raízes 1x e 2x , sabemos que: 
DISCRIMINANTE: 
2
1 2
1 2
1 2
4
0
0
0 ,
b ac
x x
x x
x x R
 = −
   
 =  =
   
 
RAÍZES: 
1 2
1 2
2
b
x
a
b
S x x
a
c
P x x
a
−  
=
= + = −
=  =
 
1) Calcule a soma das raízes reais da equação: 
( )2 3 3 3 3 9 0x x− + + = 
(a) 0 
(b) 3 3− 
(c) 3 3+ 
(d) 6 3+ 
(e) Não há raízes reais. 
SOLUÇÃO: 
Para calcula a soma das raízes vamos utilizar a fórmula: 
( )
1 2
3
3 3 3
9
b
S x x
a
a
b
c
= + = −
=
= − +
=
 
2 
 
( ) ( )
1 2
3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3
3 33 3 3 3
S x x
− + ++ +  +
= + = − = = = = = + 
LETRA (c) 
2) Observe o quadrado ABCD. Determine o valor de x (sendo 7,5x  ), de modo que a área 
da região quadriculada em vermelho seja igual a 275cm . 
 
(a) 4 
(b) 5 
(c) 5,5 
(d) 6 
(e) 6,5 
SOLUÇÃO: 
Vamos construir outra figura com mais dados: 
 
O quadrado ABCD de lado 15cm e área 2 215 225ABCDS cm= = é composto por dois 
quadradinhos um com vértice em B e outro em D de área 
2
B DS S x= = , dois triângulos 
retângulos, um com vértice em A e outro em C de área 
( )
2
15
2
A C
x
S S
−
= = e por último a 
região quadriculada em vermelho cuja área é 275cm . 
Feito estas considerações: 
3 
 
( )
2
2
2 2
2 2
1 2
15
2 2 75 225
2
2 225 30 75 225
3 30 75 0 10 25 0
5
x
x
x x x
x x x x
x x cm
−
+ + =
+ − + + =
− + =  − + =
= =
 
LETRA (b) 
3) Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. A primeira, funcionando sozinha, gasta 5 
horas a mais para encher este tanque do que a segunda, caso esta também funcionasse 
sozinha. Quanto tempo gastará, isoladamente, a segunda torneira para encher este 
tanque? 
(a) 8 horas 
(b) 9 horas 
(c) 10 horas 
(d) 11 horas 
(e) 12 horas 
SOLUÇÃO: 
Se as duas torneiras enchem um tanque em 6 horas, em uma hora enchem 1
6
 do tanque. 
Vamos supor que a segunda torneira precise de t horas para sozinha, encher este tanque, 
logo, em uma hora a segunda torneira enche 1
t
 do tanque. 
Como a primeira, funcionando sozinha, gasta 5 horas a mais para encher este tanque do 
que a segunda esta torneira gastaria 5t + horas para sozinha encher o tanque, logo, em 
uma hora ela enche 1
5t +
 do tanque. 
Temos que: 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
6 5 6 51 1 1
5 6 6 5 6 5
6 5 6 5
3
6 30 6 5 7 30 0
10
t t t t
t t t t t t
t t t t
t
t t t t t t
t
+ + +
+ =  =
+ + +
+ + = +
= −
+ + = +  − − =  
=
 
Logo, a segunda torneira gastará 10 horas para encher este tanque, isoladamente, 
LETRA (c) 
4) Um trem percorreu 200Km em um certo intervalo de tempo. Caso ele tivesse aumentado 
sua velocidade em 10Km/h, teria levado uma hora a menos para percorrer a mesma 
distância. A velocidade desenvolvida pelo trem foi de: 
(a) 30Km/h 
(b) 35Km/h 
(c) 40Km/h 
(d) 45Km/h 
(e) 50Km/h 
SOLUÇÃO: 
A velocidade de um móvel é a razão entre a distância percorrida pelo móvel e o tempo que 
levou para isto. 
d
v
t
= 
No primeiro momento o trem percorreu 200Km em um certo intervalo de tempo, logo, sua 
velocidade foi de: 
200
v
t
= 
4 
 
No segundo momento o trem percorreu também 200Km em um certo intervalo de tempo 
( )1t − a uma velocidade sua ( )10v + : 
200
10
1
v
t
+ =
−
 
Podemos, então, montar o sistema: 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
12
2
200
( )
200
10 ( )
1
200 1 10 1200 200 200
( ) ( ) 10
1 1 1
200 200 10 10 200 10 10 200 0
4
20 0
5
v I
t
v II
t
t t t t
I II
t t t t t t
t t t t t t
t
t t
t

=

 + =
 −
− + −
→  + =  =
− − −
− + − =  − − =
= −
− − =  
=
 
Logo, sua velocidade foi de: 
200
40
5
Kmv
h
= = 
LETRA (c) 
5) Paulo fez um galinheiro retangular aproveitando um muro para conter um dos lados do 
cercado. Ele usou 13m de tela, delimitando o galinheiro a uma área de 21m². nessas 
condições, o menor lado desse cercado retangular, sabendo que ele tem a menor medida 
possível, mede 
(a) 3,0m 
(b) 3,5m 
(c) 4,5m 
(d) 6,0m 
(e) 7,0m 
SOLUÇÃO: 
Vamos fazer uma figura pra melhor entender o problema. 
 
Segundo os dados do problema: 
( ) 2
2
21( )
2 13 13 2 ( )
( ) ( ) 13 2 21 13 2 21
2 13 21 0
2 13 21
xy I
x y y x II
II I x x x x
x x
a b c
=

+ =  = −
→  − =  − =
− + =
=  = −  =
 
5 
 
( ) ( )( )
( )
22
1
2
4 13 4 2 21 169 168 1
13 1 7
3,5
13 1 4 2
13 12 2 2
3
4
b ac
x m
b
x x
a
x m
 = −   = − − = − =
+
= = =− − −   
=  =  
−  = =

 
Temos, portanto, o seguinte cercado: 
 
LETRA (a) 
6) Um quintal tem o formato de um retângulo tal que a medida de um de seus lados é o triplo 
da medida do outro, e seu perímetro, em metros, é numericamente igual a sua área, em 
metros quadrados. Nesse caso quanto mede o maior lado do quintal? 
(a) 3m 
(b) 4m 
(c) 6m 
(d) 8m 
(e) 18m 
SOLUÇÃO: 
Vamos fazer uma figura pra melhor entender o problema. 
 
Segundo os dados do problema: 
( )( ) ( ) ( ) ( )
1
2 2
2
0
3 2 3 2 3 6 2 3 8 0 3 8 0 8
3
x
x x x x x x x x x x x
x
=

= +  = +  − =  − =  
=

 
Portanto 
8
3
x = e o maior lado é: 
8
3 8
3
 = . 
LETRA (d) 
7) Qual deve ser o valor de k para que as raízes da equação ( )2 23 5 0x k x k+ − + − = sejam 
simétricas? 
(a) 8k = 
(b) 7k = 
(c) 6k = 
(d) 5k = 
(e) 4k = 
 
6 
 
SOLUÇÃO: 
Se dois números são simétricos sua soma é zero, por exemplo, 3 3 0− + = . Vamos, então, 
usar este fato para solucionar a questão. 
( )
1 2
23 5
5
0 5 0 5
3
b
S x x
a
a b k c k
k
S k k
= + = −
=  = − +  = −
− +
= − =  − + =  =
 
LETRA (d) 
8) Se 1x e 2x são as raízes de 
2 57 228 0x x+ − = então 
1 2
1 1
x x
+ vale: 
(a) 
1
4
− 
(b) 
1
4
 
(c) 
1
2
− 
(d) 
1
2
 
(e) 
1
6
 
SOLUÇÃO: 
Primeiro devemos desenvolver a expressão algébrica dada. 
1 2
1 2 1 2
1 2
1 1
1 1
x x S
x x x x P
b
b a ba
cx x a c c
a
+
+ = =

−
+ = = −  = −
 
Vamos agora considerar a equação dada: 
2 57 228 0
1 57 228
57 1
228 4
x x
a b c
b
c
+ − =
=  =  = −
− = − = −
 
LETRA (a) 
9) Considere que 1x e 2x são as raízes da equação 
23 5 2 0x x p− + − = , em que p é um 
número real. Sabendo que 
1 2
1 1 5
2x x
+ = , podemos concluir que: 
(a) 2p = − 
(b) 
8
5
p = − 
(c) 0p = 
(d) 4p = 
(e) 2p = 
 
 
 
7 
 
SOLUÇÃO: 
Da questão anterior temos que: 
1 2
1 1 5
2
b b
x x c c
+ = −  − = 
Considerando a equação: 
23 5 2 0
3 5 2
5 5 5 5 5
5 10 10
2 2 2 2 2
5 20 4
x x p
a b c p
b
p
c p p
p p
− + − =
=  = −  = −
−
− =  − =  =  − =
− −
=  =
 
LETRA (d) 
10) Considere que a equação do segundo grau 23 0x ax d+ + = tem como raízes os números 4 
e 3− . Assim, é correto afirmar que os valores de ( )a d+ e ( )a d são, respectivamente: 
(a) 1− e 12− 
(b) 39− e 108 
(c) 33 e 108− 
(d) 3− e 36− 
SOLUÇÃO: 
As raízes de uma equação são números que quando substituídos na variável, neste caso 
x , anulam a expressão. 
2
2
3 0
4
3 4 4 0 3 16 4 0 48 4 0 4 48
x ax d
x
a d a d a d a d
+ + =
=
 + + =   + + =  + + =  + = −
 
( )
2
2
3 0
3
3 3 3 0 3 9 4 0 27 3 0 3 27
x ax d
x
a d a d a d a d
+ + =
= −
 − − + =   + + =  − + =  − + = −
 
Vamos agora montar o sistema: 
( ) ( )
( )
( )
( )( )
4 48( )
3 27( )
( ) ( ) 4 3 48 27 4 3 48 27
7 21 3
4 48 4 3 48 12 48 48 12 36
3 36 3 36 39
3 36 108
a d I
a d II
I II a d a d a d a d
a a
a d d d d d
a d
a d
+ = −

− + = −
−  + − − + = − − −  + + − = − +
= −  = −
+ = −  − + = −  − + = −  = − +  = −
+ = − + − = − − = −
 = − − =
 
LETRA (b)