Avaliação I - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

Prévia do material em texto

Avaliação I - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial 
 
1 - Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o mesmo 
conjunto solução. No entanto, podemos realizar esta análise, verificando os coeficientes 
numéricos das incógnitas e os termos independentes de cada sistema. Assim, dado o 
sistema a seguir, determine quais são os valores de a e b para que os sistemas sejam 
equivalentes: 
A 
a = 2 e b = -2. 
B 
a = 2 e b = 4. 
C 
a = 4 e b = -2. 
D 
a = 4 e b = 2. 
 
2 - Ao realizar o produto entre duas matrizes, devemos saber que o produto de uma 
matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos 
elementos. Precisamos realizar a verificação da possibilidade de resolução procedendo a 
análise das ordens das matrizes envolvidas. Baseado nisso, a partir do produto colocado 
a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, 
assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
F - V - F - F. 
B 
F - F - V - F. 
C 
F - F - F - V. 
D 
V - F - F - F. 
 
3 - A transposta de uma matriz A deve possuir todos os elementos que a matriz A 
(original) possui, porém, dispostos em uma condição que "troca" os elementos das 
linhas da matriz A para colunas da matriz transposta, indicada por At. Esta matriz 
especial possui algumas propriedades importantes. Sobre o exposto, avalie as asserções 
a seguir: I) (-A)t = - (At) é verdadeiro, pois observa-se que a matriz apenas foi 
multiplicada por (-1). PORQUE II) (A+B)t = Bt + At é verdadeiro, pois os elementos 
das matrizes A e B são iguais. Assinale a alternativa CORRETA: 
A 
As asserções I e II são falsas. 
B 
A asserção I é falsa e a II é verdadeira. 
C 
As asserções são verdadeiras, porém a justificativa dada na II é falsa. 
D 
A asserção I é verdadeira, porém, a II é falsa. 
 
4 - Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em 
situações variadas. Cada uma destas situações poderá representar (ou modelar) alguma 
situação prática que necessite a utilização das matrizes para sua resolução. Baseado 
nistsso, dado a matriz a seguir, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o termo 
a23: 
A 
13. 
B 
5. 
C 
6. 
D 
10. 
 
5 - Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do 
tipo nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de 
determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos a 
resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares ou ainda, o cálculo da área 
de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos 
seus vértices. Baseado nas propriedades dos determinantes, analise as sentenças a 
seguir: I- Se os elementos de uma linha de uma matriz quadrada forem todos iguais a 
zero, seu determinante será zero. II- Se os elementos de duas linhas de uma matriz 
forem iguais, seu determinante será nulo. III- Uma matriz que não é quadrada possui 
determinante igual ao da sua transposta. IV- Se trocarmos de posição, entre si, duas 
linhas de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz é o anterior com o sinal 
trocado. Assinale a alternativa CORRETA: 
A 
As sentenças III e IV estão corretas. 
B 
Somente a sentença I está correta. 
C 
As sentenças I, II e IV estão corretas. 
D 
As sentenças II e III estão corretas. 
 
6 - Sistemas lineares são úteis para todos os campos da matemática aplicada, em 
particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas 
áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na economia, por exemplo, é 
muito comum a modelagem de situações por meio de sistemas lineares. Baseado nisso, 
assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução para o sistema a seguir: 
A 
{3, 2}. 
B 
{1, 4}. 
C 
{2, 3}. 
D 
{-2, 1}. 
7 - Ao se falar dos determinantes associados a uma matriz, não nos vem à mente uma 
aplicação prática de seu uso. No entanto, isto é uma ideia apenas inicial, pois os 
determinantes foram (e são) uma ferramenta poderosíssima no processo de cálculo e 
discussão dos sistemas lineares, estes cuja gama de aplicações é gigantesca. Visto isto, 
calcule o determinante dos coeficientes numéricos das incógnitas do sistema linear a 
seguir (det(A)). Quanto ao seu valor, classifique V para as opções verdadeiras e F para 
as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
F - V - F - F. 
B 
V - F - F - F. 
C 
F - F - F - V. 
D 
F - F - V - F. 
 
8 - Sistemas lineares é um conjunto de equações lineares, com m equações e n 
incógnitas. A solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares. 
Existem muitas maneiras de resolver um sistema de equações lineares ou sistemas 
lineares, como quiser chamá-los. Dessa forma, o mais importante é conhecer suas 
principais características e propriedades. Com base no sistema apresentado, classifique 
V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa 
que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
V - F - F - F. 
B 
F - V - F - F. 
C 
F - F - V - F. 
D 
F - F - F - V. 
 
9 - Arthur Cayley (1821-1895) foi um dos pioneiros no estudo das matrizes e, por volta 
de 1850., divulgou esse nome e passou a demonstrar sua aplicação. As matrizes, 
inicialmente, eram aplicadas quase que exclusivamente na resolução de sistemas 
lineares e apenas há pouco mais de 150 anos tiveram sua importância detectada. Com 
base no exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Se A 
é uma matriz do tipo 3x5 então o sistema de equações A.X = B será indeterminado. ( ) 
Se A é triangular do tipo nxn então det(A) = a11 . a22 . a33 . . . ann. ( ) Se det(A) é 
diferente de 0 então existe a inversa de A. ( ) Se A.B pode ser calculada então B.A 
sempre tem como resultado uma matriz diferente. Assinale a alternativa que apresenta a 
sequência CORRETA: 
A 
V - F - F - V. 
B 
V - V - V - F. 
C 
F - V - V - F. 
D 
V - F - V - F. 
 
10 - Joaquim faltou na aula e pegou emprestado o caderno de seu amigo Manoel para 
estudar e copiar a matéria atrasada. No entanto, como este seu amigo não era nada 
caprichoso parte da resolução de uma das questões de multiplicação de matrizes 
aprendida estava apagada. Sobre a resolução ilegível na matriz apresentada, analise as 
opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
A 
Somente a matriz II. 
B 
Somente a matriz I. 
C 
Somente a matriz IV. 
D 
Somente a matriz III.