Avaliação II - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

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Avaliação II - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial 
 
1 - Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois 
espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por 
escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou 
mapa linear. A respeito das transformações lineares, analise as opções a seguir: I- T(x,y) 
= (x² , y²). II- T (x,y) = (2x + 1, x + y). III- T (x,y) = (2x + y, x - y). IV- T (x,y) = (x, x - 
y). Assinale a alternativa CORRETA: 
A 
Somente a opção IV está correta. 
B 
As opções II e III estão corretas. 
C 
As opções III e IV estão corretas. 
D 
As opções I e II estão corretas. 
 
2 - Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente 
conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um 
entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador 
linear de R³ em R³: T(x,y,z) = (z, x - y, -z) Assinale a alternativa CORRETA que 
melhor apresenta uma base para o Núcleo deste operador: 
A 
[(0,1,1)]. 
B 
[(0,0,1)]. 
C 
[(1,0,1)]. 
D 
[(1,1,0)]. 
 
3 - Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, 
permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes 
do polinômio característico de uma transformação linear, mas sim o problema clássico 
de autovalores, que é absolutamente essencial para a compreensão e a análise de 
estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de 
sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: 
pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de 
energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios 
altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação 
apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em 
seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
V - V - F - V. 
B 
F - F - V - F. 
C 
V - F - F - F. 
D 
F - V - F - F. 
4 - O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento 
no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o 
produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no qual 
o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, simultaneamente 
ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto ao produto vetorial (u x v) entre os 
vetores u = (0,2,2) e v = (3,0,2), analise as opções a seguir: I- u x v = (4,6,-6). II- u x v = 
(0,6,4). III- u x v = (0,-6,6). IV- u x v = (-4,6,-6). Assinale a alternativa CORRETA: 
A 
Somente a opção I está correta. 
B 
Somente a opção IV está correta. 
C 
Somente a opção III está correta. 
D 
Somente a opção II está correta. 
5Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por 
LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos 
outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente 
dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. 
Baseado nisso, assinale a alternativa CORREA que apresenta um conjunto de vetores 
LI: 
A 
{(1,1,0),(2,2,0),(0,0,3)}. 
B 
{(2,1,-1),(0,0,1),(2,1,0)}. 
C 
{(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}. 
D 
{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. 
 
6 - A figura que segue, apresenta um losango EFGH inscrito em um retângulo ABCD. 
Sabe-se também que os vértices do losango são os pontos médios do retângulo. Como é 
de conhecimento também, cada segmento de reta que é criado com todas estas 
intersecções pode ser considerado como sendo as extremidades de um vetor. Sobre o 
exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, 
assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
V - V - F - F - V. 
B 
V - F - V - V - F. 
C 
F - V - V - F - V. 
D 
F - V - F - V - F. 
 
7 - No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e 
autovetores. Teoricamente, um autovetor de uma transformação é um vetor que quando 
aplicado na transformação, resulta um múltiplo de si próprio, sendo que a este fator 
multiplicativo, damos o nome de autovalor. Estes conceitos possuem diversas 
aplicações práticas, principalmente na Engenharia. Baseado nisso, dada a transformação 
T(x,y) = (2x, y) analise as sentenças a seguir: I- v = (1,0) é um autovalor de T, com 
autovalor igual a 2. II- v = (0,1) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2. III- T 
possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1. IV- T possui dois autovalores de 
multiplicidade algébrica 1. Assinale a alternativa CORRETA: 
A 
As opções I e III estão corretas. 
B 
As opções I e IV estão corretas. 
C 
As opções II e III estão corretas. 
D 
As opções II e IV estão corretas. 
 
8 - Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um 
espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao 
invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um 
produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao 
resultado do produto vetorial entre u = (1,-2,3) e v = (0,2,1), classifique V para as 
opções verdadeiras e F para as falsas: ( ) u x v = (0,-4,3). ( ) u x v = (-8,-1,2). ( ) u x v = 
(8,1,-2). ( ) u x v = (0,4,3). Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
F - F - V - F. 
B 
V - F - F - F. 
C 
F - V - F - F. 
D 
F - F - F - V. 
 
9 - Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele 
precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará 
ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará 
empurrá-lo para baixo. Isso porque a força é um exemplo de grandeza vetorial. Para 
descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e a direção em que ela é aplicada. 
Com relação ao vetor resultado (R) da operação -2u + 3v, sendo u = (-1,2,0) e v = (-1,-
2,3), analise as opções a seguir: I- R = (1,10,9). II- R = (-1,-10,9). III- R = (-5,2,9). IV- 
R = (5,-2,9). Assinale a alternativa CORRETA: 
A 
Somente a opção II está correta. 
B 
Somente a opção IV está correta. 
C 
Somente a opção III está correta. 
D 
Somente a opção I está correta. 
 
10 - A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do 
vetor analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza 
física envolvida em um dado problema. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA 
que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (-2,4): 
A 
Raiz de 20. 
B 
Raiz de 10. 
C 
2. 
D 
4.