testeCI_2007

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2007/08 A.M. II-D - Cálculo Integral (3o teste) 2h30
I (2,5 pontos)
Calcule, após ter invertido a ordem de integração, o integral iterado∫ 1
0
∫ arctan(y)
0
cos2(x)dxdy.
(Comece por esboçar a região de integração).
II (3 pontos)
Considere a região R do plano delimitada pelas rectas de equação y = 2x − 3, y = 2x,
x = 2y − 3 e x = 2y. Calcule o integral∫∫
R
xydA
recorrendo à mudança de variáveis definida por x = 2u+ v e y = u+ 2v.
III (5 pontos)
Considere o sólido S delimitado inferiormente pelo parabolóide de equação
z = x2 + y2
e superiormente pelo cone de equação
z = 2−
√
x2 + y2.
a. Faça um esboço de S.
b. Sabendo que a densidade de S é dada por ρ(x, y, z) = x2, calcule a massa M de S.
c. Calcule a cota zG do centro de massa de S.
IV (5,5 pontos)
Considere a região S do plano delimitada superiormente pela circunferência de equação
x2 + y2 = 2
e inferiormente pela recta de equação
y = 1.
a. Parametrize a fronteira C de S (serão necessários dois troços).
b. Determine a área de S:
i. calculando directamente
∫∫
S
dA utilizando coordenadas polares;
ii. calculando uma circulação
∮
C
F.ds e utilizando o teorema de Green.
(deverá escolher judiciosamente o campo F a integrar)
V (4 pontos)
Considere a circunferência C parametrizada por
φ : t ∈ [0; 2π]→ (cos(t), sin(t), 0).
a. Calcule a circulação ∮
C
F.ds,
onde o campo F é dado por
F (x, y, z) = (x, y2, cos(z + x) log(y2 + 1)).
b. Considere a superf́ıcie cónica S definida por z = 1 −
√
x2 + y2 e z ≥ 0, orientada
“para dentro”.
Utilizando a aĺınea anterior e o teorema de Stokes, calcule o fluxo do campo
G(x, y, z) =
(
2y
y2 + 1
cos(x+ z), sin(z + x) log(y2 + 1), 0
)
através de S.