Nota de aula 4 - EDO 1a ordem exatas

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Nota de Aula: Equações Diferenciais Exatas 
Considere a equação diferencial disposta na forma: 
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy  (1) 
Essa equação é dita exata se: 
M N
y x
 

 
 
Se isso for verificado conclui-se que o lado esquerdo da equação (1) representa 
uma diferencial total de uma função ( , )u x y , isto é: 
 0du  
 . . 0
u u
dx dy
x y
 
 
 
 
E portanto: ( , ) ( , )
u u
M x y e N x y
x y
 
 
 
 ( 2) 
A técnica então se baseia, na determinação da função ( , )u x y e posterior 
imposição: 0du  . 
Iniciando o processo na direção x, temos: 
( , ) ( , ) ( , ) ( )
u
M x y u M x y x u M x y x C y
x

        
 
 
Veja que a integração é feita na forma parcial na direção x , portanto, a 
constante de integração “C” pode ser uma função de y. 
Bom, agora a meta é a determinação da constante C(y). Isto se faz pela 
derivação parcial de ( , )u x y na direção y e posterior comparação com a 
função ( , )N x y se aproveitando da relação (2). 
 ( , )u CM x y x
y y y
  
  
  
 
 ( , )C u M x y x
y y y
  
  
   
 mas ( , )
u
N x y
y



 
 
Então:  ( , ) ( , )C N x y M x y x
y y
 
  
  
 
Assim podemos determinar C(y) resolvendo esta equação diferencial anterior. 
 
Vamos ver isso de forma mais concreta através de um exemplo. 
 
Seja a equação 2 2( 2 ) ( 2 3 ) 0x y dx xy y dy    
Logo: 2 22 2 3M x y e N xy y    
Fazendo o teste: 
2 2
M N
y e y
y x
 
 
 
 , portanto é exata. 
 
Assim, 2 22 2 3
u u
x y e xy y
x y
 
   
 
 
Partindo da primeira relação: 22
u
x y
x

 

 
 2( 2 )u x y x    integrando, vem: 
 2 2u x y x C   C = f(y) 
 
Derivando “u” na direção y, temos: 
 2
u dC
y x
y dy

 

 como 22 3
u
xy y
y

 

 
 22 3 2
dC
xy y y x
dy
   
 23
dC
y
dy
 
 
23dC y dy
 
 
 
3 .C y Const  
 
Levando este resultado em “u”, vem: 
 
2 2 3 .u x y x y Const    
Da equação diferencial exata sabemos que 0du 
 
Dessa forma podemos criar a solução esperada: 
 
 
2 2 3 ,x y x y k k constante   
 
 
Análise similar pode ser feita a partir da relação: 
 
Outra forma alternativa de análise permite compor a solução por comparação 
da função u (x,y) obtidas por integração das duas relações: 
 
2 22 2 3
u u
x y e xy y
x y
 
   
  
Veja: 
 
2 2 ( )u x x y C y  
 
2 3 ( )u x y y C x  
 
Como as duas expressões representam a mesma função, podemos concluir que: 
 
2 3( ) ( )C x x e C y y 
 
Portanto, unindo as duas soluções, surge a função u(x,y): 
 
2 2 3u x x y y  
 
Como du = 0 , tem-se u = k (constante) 
 
Logo: (solução esperada) 
 
22 3
u
xy y
y

 

2 2 3x x y y k  
Seu resultado gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituto Superior Tupy 
Rebello mar/2012