Vamos Praticar - Gauus-Seidel - Jacobi

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Vamos Praticar 
Utilize uma ferramenta computacional, como o Excel, para resolver o sistema 
linear a seguir, por meio dos dois Métodos: Jacobi e Gauss -Seidel. Considere um 
erro menor que 0,02. 
10x+2y+6z=28 
x+10y+9z=7 
2x-7y-10z=-17 
Depois de resolver o sistema, responda às seguintes perguntas: 
Qual dos dois métodos é mais eficaz? 
Qual possui menos iterações (convergência mais rápida)? 
 
Vou utilizar o exemplo semelhante abaixo para facilitar na resolução: 
 
EXEMPLO SEMELHANTE 
Analisar a convergência usando o critério das linhas e o critério de Sassenfeld do 
seguinte sistema linear e resolvê-lo usando os dois métodos iterativos. 
Usar 𝑥0 = (−2,4; 5; 0,3)𝑒 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝜖 < 10
−2 
 
5𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 7 
−𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 3 
2𝑥1 − 3𝑥2 + 10𝑥3 = −1 
 
 
ANÁLISE DA CONVERGÊNCIA 
CRITÉRIO DAS LINHAS 
 
O Critério das Linhas pede que: 
 
∑ |𝑎𝑖𝑗|
𝑛
𝑗=1
𝑗≠𝑖
< |𝑎𝑖𝑖| 
 
Para todo i = 1, . . . , n. Em palavras: “o valor absoluto do termo diagonal na linha i 
é maior do que a soma dos valores absolutos de todos os outros termos na mesma 
linha”. 
 
Sendo assim, se o sistema linear satisfaz o Critério das Linhas, então, o Método de 
Jacobi converge; 
|A|=[
5 2 1
1 4 2
2 3 10
]
𝑥1
𝑥2
𝑥3
 
 
 
 
𝑥1 =
2 + 1
5
= 
3
5
= 0,6 
𝑥2 =
1 + 2
4
= 
3
4
= 0,75 
𝑥3 =
2 + 3
10
= 
5
10
= 0,5 
Todos menores que 1; Há convergência. 
 
METODO DE JACOBI 
Isolando 𝑥1, na primeira linha, 𝑥2 na segunda linha e 𝑥3 na terceira linha, temos: 
𝑥1 =
(7 − 2𝑥2 − 𝑥3)
5
 
𝑥2 =
(3 + 𝑥1 − 2𝑥3)
4
 
𝑥3 =
(−1 − 2𝑥1 + 3𝑥2)
10
 
 
Para a formula de interação 
𝑥1 = 1,4 − 0,4𝑥2 − 0,2𝑥3 
𝑥2 = 0,75 + 0,25𝑥1 − 0,5𝑥3 
𝑥3 = −0,1 − 0,2𝑥1 + 0,3𝑥2 
 
Colocando no Excel 
A equação foi inserida respectivamente em x1, x2 e x2; 
 
Observamos que para um erro menor que 0,02 em todas as variáveis, temos 7 
interações. 
 
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
Formula de interação 
𝑥1 = 1,4 − 0,4𝑥2 − 0,2𝑥3 
𝑥2 = 0,75 + 0,25𝑥1 − 0,5𝑥3 
𝑥3 = −0,1 − 0,2𝑥1 + 0,3𝑥2 
Considerando k=0, temos: 
𝑥1 = 1,4 − 0,4 ∙ 0 − 0,2 ∙ 0 = 1,4 
𝑥2 = 0,75 + 0,25 ∙ 1,4 − 0,5 ∙ 0 = 1,1 
𝑥3 = −0,1 − 0,2 ∙ 1,4 + 0,3 ∙ 1,1 = −0,05 
 
Colocando no Excel 
A equação foi inserida respectivamente em x1, x2 e x2; 
 
 
Observamos que para um erro menor que 0,02 em todas as variáveis, temos 4 
interações. 
Depois de resolver o sistema, responda às seguintes perguntas: 
Qual dos dois métodos é mais eficaz? 
Ambos são eficazes, apesar de o JACOBI ter mais interações sua precisão é melhor, 
justamente por ter mais interações, mas sendo objetivo, o método Gauss-Seidel é 
mais eficaz; 
Qual possui menos iterações (convergência mais rápida)? 
 
O método Gauss-Seidel.