aula 1 vetores

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Aula 1 - Vetores
Profa. Dra. Maria de Lourdes Merlini Giuliani
UFABC
Grandezas não escalares
-Existem grandezas que são escalares (peso,
comprimento, etc);
-outras necessitam mais item para ser
estabelecidas ou identificadas (velocidade por ex);
-essas são chamadas grandezas vetoriais!
flechas dão ideias dessa grandeza.
Definição
Um vetor é uma grandeza descrita por direção,
sentido e intensidade (ou comprimento).
(LOUSA)
Grandezas não escalares
-Existem grandezas que são escalares (peso,
comprimento, etc);
-outras necessitam mais item para ser
estabelecidas ou identificadas (velocidade por ex);
-essas são chamadas grandezas vetoriais!
flechas dão ideias dessa grandeza.
Definição
Um vetor é uma grandeza descrita por direção,
sentido e intensidade (ou comprimento).
(LOUSA)
Grandezas não escalares
-Existem grandezas que são escalares (peso,
comprimento, etc);
-outras necessitam mais item para ser
estabelecidas ou identificadas (velocidade por ex);
-essas são chamadas grandezas vetoriais!
flechas dão ideias dessa grandeza.
Definição
Um vetor é uma grandeza descrita por direção,
sentido e intensidade (ou comprimento).
(LOUSA)
Grandezas não escalares
-Existem grandezas que são escalares (peso,
comprimento, etc);
-outras necessitam mais item para ser
estabelecidas ou identificadas (velocidade por ex);
-essas são chamadas grandezas vetoriais!
flechas dão ideias dessa grandeza.
Definição
Um vetor é uma grandeza descrita por direção,
sentido e intensidade (ou comprimento).
(LOUSA)
Definições
Segmento orientado: par de pontos (A,B),
se
A ̸= B então (A,B) ̸= (B,A).
(LOUSA)
▶ Dizemos que (A,B) e (C,D) são de mesmo
comprimento se os segmentos geométricos
AB e CD tem comprimentos iguais.
▶ Sendo (A,B) e (C,D) ambos não nulos,
então dizemos que (A,B) e (C,D) tem a
mesma direção se AB e CD são paralelos
(incluindo colineares);
▶ Se (A,B) e (C,D) são paralelos então eles
podem ser de mesmo sentido ou sentido
contrário.
(LOUSA)
Definições
Segmento orientado: par de pontos (A,B), se
A ̸= B então (A,B) ̸= (B,A).
(LOUSA)
▶ Dizemos que (A,B) e (C,D) são de mesmo
comprimento se os segmentos geométricos
AB e CD tem comprimentos iguais.
▶ Sendo (A,B) e (C,D) ambos não nulos,
então dizemos que (A,B) e (C,D) tem a
mesma direção se AB e CD são paralelos
(incluindo colineares);
▶ Se (A,B) e (C,D) são paralelos então eles
podem ser de mesmo sentido ou sentido
contrário.
(LOUSA)
Definições
Segmento orientado: par de pontos (A,B), se
A ̸= B então (A,B) ̸= (B,A).
(LOUSA)
▶ Dizemos que (A,B) e (C,D) são de mesmo
comprimento se os segmentos geométricos
AB e CD tem comprimentos iguais.
▶ Sendo (A,B) e (C,D) ambos não nulos,
então dizemos que (A,B) e (C,D) tem a
mesma direção se AB e CD são paralelos
(incluindo colineares);
▶ Se (A,B) e (C,D) são paralelos então eles
podem ser de mesmo sentido ou sentido
contrário.
(LOUSA)
Definições
Segmento orientado: par de pontos (A,B), se
A ̸= B então (A,B) ̸= (B,A).
(LOUSA)
▶ Dizemos que (A,B) e (C,D) são de mesmo
comprimento se os segmentos geométricos
AB e CD tem comprimentos iguais.
▶ Sendo (A,B) e (C,D) ambos não nulos,
então dizemos que (A,B) e (C,D) tem a
mesma direção se AB e CD são paralelos
(incluindo colineares);
▶ Se (A,B) e (C,D) são paralelos então eles
podem ser de mesmo sentido ou sentido
contrário.
(LOUSA)
Segmentos equipolentes
Um segmento orientado (A,B) pode ser
considerado um vetor,
uma vez que tem as três
qualidades deste (direção, sentido e ou
comprimento).
Definição
Os vetores (A,B) e (C,D) são equipolentes se:
i) ambos são não nulos;
ii) nenhum é nulo e tem mesma direção, mesmo
sentido e mesmo comprimento.
Notação: (A,B) ∼ (C,D).
Segmentos equipolentes
Um segmento orientado (A,B) pode ser
considerado um vetor, uma vez que tem as três
qualidades deste (direção, sentido e ou
comprimento).
Definição
Os vetores (A,B) e (C,D) são equipolentes se:
i) ambos são não nulos;
ii) nenhum é nulo e tem mesma direção, mesmo
sentido e mesmo comprimento.
Notação: (A,B) ∼ (C,D).
Segmentos equipolentes
Um segmento orientado (A,B) pode ser
considerado um vetor, uma vez que tem as três
qualidades deste (direção, sentido e ou
comprimento).
Definição
Os vetores (A,B) e (C,D) são equipolentes se:
i) ambos são não nulos;
ii) nenhum é nulo e tem mesma direção, mesmo
sentido e mesmo comprimento.
Notação: (A,B) ∼ (C,D).
Segmentos equipolentes
Um segmento orientado (A,B) pode ser
considerado um vetor, uma vez que tem as três
qualidades deste (direção, sentido e ou
comprimento).
Definição
Os vetores (A,B) e (C,D) são equipolentes se:
i) ambos são não nulos;
ii) nenhum é nulo e tem mesma direção, mesmo
sentido e mesmo comprimento.
Notação: (A,B) ∼ (C,D).
Segmentos equipolentes
Um segmento orientado (A,B) pode ser
considerado um vetor, uma vez que tem as três
qualidades deste (direção, sentido e ou
comprimento).
Definição
Os vetores (A,B) e (C,D) são equipolentes se:
i) ambos são não nulos;
ii) nenhum é nulo e tem mesma direção, mesmo
sentido e mesmo comprimento.
Notação: (A,B) ∼ (C,D).
Relação de equivalência
Proposição 1
Para quaisquer segmentos orientados
(A,B), (C,D) e (E,F ) valem:
i) (A,B) ∼ (A,B), (reflexiva);
ii) se (A,B) ∼ (C,D) então (C,D) ∼ (A,B),
(simétrica);
iii) se (A,B) ∼ (C,D) e (C,D) ∼ (E,F ), então
(A,B) ∼ (E,F ), (transitiva).
A classe de equivalência de (A,B) são todos os
segmentos orientados equipolentes à (A,B).
(A,B) é o representante da classe.
Notação: (A,B)
Relação de equivalência
Proposição 1
Para quaisquer segmentos orientados
(A,B), (C,D) e (E,F ) valem:
i) (A,B) ∼ (A,B), (reflexiva);
ii) se (A,B) ∼ (C,D) então (C,D) ∼ (A,B),
(simétrica);
iii) se (A,B) ∼ (C,D) e (C,D) ∼ (E,F ), então
(A,B) ∼ (E,F ), (transitiva).
A classe de equivalência de (A,B) são todos os
segmentos orientados equipolentes à (A,B).
(A,B) é o representante da classe.
Notação: (A,B)
Relação de equivalência
Proposição 1
Para quaisquer segmentos orientados
(A,B), (C,D) e (E,F ) valem:
i) (A,B) ∼ (A,B), (reflexiva);
ii) se (A,B) ∼ (C,D) então (C,D) ∼ (A,B),
(simétrica);
iii) se (A,B) ∼ (C,D) e (C,D) ∼ (E,F ), então
(A,B) ∼ (E,F ), (transitiva).
A classe de equivalência de (A,B) são todos os
segmentos orientados equipolentes à (A,B).
(A,B) é o representante da classe.
Notação: (A,B)
Relação de equivalência
Proposição 1
Para quaisquer segmentos orientados
(A,B), (C,D) e (E,F ) valem:
i) (A,B) ∼ (A,B), (reflexiva);
ii) se (A,B) ∼ (C,D) então (C,D) ∼ (A,B),
(simétrica);
iii) se (A,B) ∼ (C,D) e (C,D) ∼ (E,F ), então
(A,B) ∼ (E,F ), (transitiva).
A classe de equivalência de (A,B) são todos os
segmentos orientados equipolentes à (A,B).
(A,B) é o representante da classe.
Notação: (A,B)
Relação de equivalência
Proposição 1
Para quaisquer segmentos orientados
(A,B), (C,D) e (E,F ) valem:
i) (A,B) ∼ (A,B), (reflexiva);
ii) se (A,B) ∼ (C,D) então (C,D) ∼ (A,B),
(simétrica);
iii) se (A,B) ∼ (C,D) e (C,D) ∼ (E,F ), então
(A,B) ∼ (E,F ), (transitiva).
A classe de equivalência de (A,B) são todos os
segmentos orientados equipolentes à (A,B).
(A,B) é o representante da classe.
Notação: (A,B)
Proposição 2
Se (A,B) ∼ (C,D) então (A,C) ∼ (B,D)
(LOUSA)
Proposição 2
Se (A,B) ∼ (C,D) então (A,C) ∼ (B,D)
(LOUSA)
Conjunto V 3
Um vetor é uma classe de equipolência
(equivalência) de um segmento orientado.
(A,B) é segmento orientado, então o vetor que
tem (A,B) como representante será indicado por
A⃗B. Ou por u⃗, v⃗, x⃗, etc
V 3 é o conjunto de todos os vetores.
Vetor nulo tem como representante o segmento
orientado nulo, 0⃗.
(A,B) representante de u⃗ o oposto de u⃗ é o −⃗u
que tem (B,A) representante.
(LOUSA)
Conjunto V 3
Um vetor é uma classe de equipolência
(equivalência) de um segmento orientado.
(A,B) é segmento orientado, então o vetor que
tem (A,B)como representante será indicado por
A⃗B.
Ou por u⃗, v⃗, x⃗, etc
V 3 é o conjunto de todos os vetores.
Vetor nulo tem como representante o segmento
orientado nulo, 0⃗.
(A,B) representante de u⃗ o oposto de u⃗ é o −⃗u
que tem (B,A) representante.
(LOUSA)
Conjunto V 3
Um vetor é uma classe de equipolência
(equivalência) de um segmento orientado.
(A,B) é segmento orientado, então o vetor que
tem (A,B) como representante será indicado por
A⃗B. Ou por u⃗, v⃗, x⃗, etc
V 3 é o conjunto de todos os vetores.
Vetor nulo tem como representante o segmento
orientado nulo, 0⃗.
(A,B) representante de u⃗ o oposto de u⃗ é o −⃗u
que tem (B,A) representante.
(LOUSA)
Conjunto V 3
Um vetor é uma classe de equipolência
(equivalência) de um segmento orientado.
(A,B) é segmento orientado, então o vetor que
tem (A,B) como representante será indicado por
A⃗B. Ou por u⃗, v⃗, x⃗, etc
V 3 é o conjunto de todos os vetores.
Vetor nulo tem como representante o segmento
orientado nulo, 0⃗.
(A,B) representante de u⃗ o oposto de u⃗ é o −⃗u
que tem (B,A) representante.
(LOUSA)
Conjunto V 3
Um vetor é uma classe de equipolência
(equivalência) de um segmento orientado.
(A,B) é segmento orientado, então o vetor que
tem (A,B) como representante será indicado por
A⃗B. Ou por u⃗, v⃗, x⃗, etc
V 3 é o conjunto de todos os vetores.
Vetor nulo tem como representante o segmento
orientado nulo, 0⃗.
(A,B) representante de u⃗ o oposto de u⃗ é o −⃗u
que tem (B,A) representante.
(LOUSA)
Conjunto V 3
Um vetor é uma classe de equipolência
(equivalência) de um segmento orientado.
(A,B) é segmento orientado, então o vetor que
tem (A,B) como representante será indicado por
A⃗B. Ou por u⃗, v⃗, x⃗, etc
V 3 é o conjunto de todos os vetores.
Vetor nulo tem como representante o segmento
orientado nulo, 0⃗.
(A,B) representante de u⃗ o oposto de u⃗ é o −⃗u
que tem (B,A) representante.
(LOUSA)
Algumas definições
Sejam u⃗, v⃗ vetores não nulos. Dizemos então:
1. u⃗, v⃗ são paralelos se um representante de u⃗
é paralelo à um representante v⃗.
u⃗//v⃗.
2. u⃗, v⃗ paralelos tem o mesmo sentido se um
representante de u⃗ tem o mesmo sentido de
um representante v⃗.
3. u⃗, v⃗ paralelos tem sentidos contrários se
um representante de u⃗ tem sentido contrário
de um representante v⃗.
4. O vetor nulo 0⃗ é paralelo a qualquer vetor.
Algumas definições
Sejam u⃗, v⃗ vetores não nulos. Dizemos então:
1. u⃗, v⃗ são paralelos se um representante de u⃗
é paralelo à um representante v⃗. u⃗//v⃗.
2. u⃗, v⃗ paralelos tem o mesmo sentido se um
representante de u⃗ tem o mesmo sentido de
um representante v⃗.
3. u⃗, v⃗ paralelos tem sentidos contrários se
um representante de u⃗ tem sentido contrário
de um representante v⃗.
4. O vetor nulo 0⃗ é paralelo a qualquer vetor.
Algumas definições
Sejam u⃗, v⃗ vetores não nulos. Dizemos então:
1. u⃗, v⃗ são paralelos se um representante de u⃗
é paralelo à um representante v⃗. u⃗//v⃗.
2. u⃗, v⃗ paralelos tem o mesmo sentido se um
representante de u⃗ tem o mesmo sentido de
um representante v⃗.
3. u⃗, v⃗ paralelos tem sentidos contrários se
um representante de u⃗ tem sentido contrário
de um representante v⃗.
4. O vetor nulo 0⃗ é paralelo a qualquer vetor.
Algumas definições
Sejam u⃗, v⃗ vetores não nulos. Dizemos então:
1. u⃗, v⃗ são paralelos se um representante de u⃗
é paralelo à um representante v⃗. u⃗//v⃗.
2. u⃗, v⃗ paralelos tem o mesmo sentido se um
representante de u⃗ tem o mesmo sentido de
um representante v⃗.
3. u⃗, v⃗ paralelos tem sentidos contrários se
um representante de u⃗ tem sentido contrário
de um representante v⃗.
4. O vetor nulo 0⃗ é paralelo a qualquer vetor.
Algumas definições
Sejam u⃗, v⃗ vetores não nulos. Dizemos então:
1. u⃗, v⃗ são paralelos se um representante de u⃗
é paralelo à um representante v⃗. u⃗//v⃗.
2. u⃗, v⃗ paralelos tem o mesmo sentido se um
representante de u⃗ tem o mesmo sentido de
um representante v⃗.
3. u⃗, v⃗ paralelos tem sentidos contrários se
um representante de u⃗ tem sentido contrário
de um representante v⃗.
4. O vetor nulo 0⃗ é paralelo a qualquer vetor.
Mais item para identificar um vetor
Definição
A norma (ou módulo ou comprimento) de um
vetor é o comprimento de qualquer um de seus
representantes.
Notação: ∥u⃗∥
Se ∥u⃗∥ = 1 então u⃗ é unitário.
Mais item para identificar um vetor
Definição
A norma (ou módulo ou comprimento) de um
vetor é o comprimento de qualquer um de seus
representantes.
Notação: ∥u⃗∥
Se ∥u⃗∥ = 1 então u⃗ é unitário.
Vetores coplanares
Um conjunto de vetores u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V 3 são
coplanares
se esses vetores possuem
representantes contidos no mesmo plano.
(Lousa)
Definimos o ângulo entre u⃗, v⃗ como o ângulo θ,
com 0 ≤ θ ≤ π, entre representantes
(A,B) e (A,C) de u⃗, v⃗ respectivamente, com
mesma origem.
(Lousa)
Dois vetores u⃗, v⃗ são ortogonais se um deles é
nulo, ou se nenhum deles é nulo mas o ângulo
entre eles é 90 graus ou π/2 radianos.
Vetores coplanares
Um conjunto de vetores u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V 3 são
coplanares se esses vetores possuem
representantes contidos no mesmo plano.
(Lousa)
Definimos o ângulo entre u⃗, v⃗ como o ângulo θ,
com 0 ≤ θ ≤ π, entre representantes
(A,B) e (A,C) de u⃗, v⃗ respectivamente, com
mesma origem.
(Lousa)
Dois vetores u⃗, v⃗ são ortogonais se um deles é
nulo, ou se nenhum deles é nulo mas o ângulo
entre eles é 90 graus ou π/2 radianos.
Vetores coplanares
Um conjunto de vetores u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V 3 são
coplanares se esses vetores possuem
representantes contidos no mesmo plano.
(Lousa)
Definimos o ângulo entre u⃗, v⃗ como o ângulo θ,
com 0 ≤ θ ≤ π, entre representantes
(A,B) e (A,C) de u⃗, v⃗ respectivamente, com
mesma origem.
(Lousa)
Dois vetores u⃗, v⃗ são ortogonais se um deles é
nulo, ou se nenhum deles é nulo mas o ângulo
entre eles é 90 graus ou π/2 radianos.
Vetores coplanares
Um conjunto de vetores u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V 3 são
coplanares se esses vetores possuem
representantes contidos no mesmo plano.
(Lousa)
Definimos o ângulo entre u⃗, v⃗ como o ângulo θ,
com 0 ≤ θ ≤ π, entre representantes
(A,B) e (A,C) de u⃗, v⃗ respectivamente, com
mesma origem.
(Lousa)
Dois vetores u⃗, v⃗ são ortogonais se um deles é
nulo, ou se nenhum deles é nulo mas o ângulo
entre eles é 90 graus ou π/2 radianos.
Multiplicação de um escalar por vetor
Seja α um número real e v⃗ um vetor.
Definimos o
vetor αv⃗ da seguinte maneira:
▶ se α = 0 ou v⃗ = 0⃗ então αv⃗ = 0⃗
▶ se α ̸= 0 e v⃗ ̸= 0⃗ então:
i) αv⃗//v⃗;
ii) αv⃗ e v⃗ tem o mesmo sentido se α > 0 e
sentido contrário de α < 0;
iii) ∥αv⃗∥ = |α|∥v⃗∥
Se v⃗ ̸= 0⃗ então v⃗∥v⃗∥ é chamado versor de v⃗
E o que dizer de (1/α) v⃗ ?
Multiplicação de um escalar por vetor
Seja α um número real e v⃗ um vetor. Definimos o
vetor αv⃗ da seguinte maneira:
▶ se α = 0 ou v⃗ = 0⃗ então αv⃗ = 0⃗
▶ se α ̸= 0 e v⃗ ̸= 0⃗ então:
i) αv⃗//v⃗;
ii) αv⃗ e v⃗ tem o mesmo sentido se α > 0 e
sentido contrário de α < 0;
iii) ∥αv⃗∥ = |α|∥v⃗∥
Se v⃗ ̸= 0⃗ então v⃗∥v⃗∥ é chamado versor de v⃗
E o que dizer de (1/α) v⃗ ?
Multiplicação de um escalar por vetor
Seja α um número real e v⃗ um vetor. Definimos o
vetor αv⃗ da seguinte maneira:
▶ se α = 0 ou v⃗ = 0⃗ então αv⃗ = 0⃗
▶ se α ̸= 0 e v⃗ ̸= 0⃗ então:
i) αv⃗//v⃗;
ii) αv⃗ e v⃗ tem o mesmo sentido se α > 0 e
sentido contrário de α < 0;
iii) ∥αv⃗∥ = |α|∥v⃗∥
Se v⃗ ̸= 0⃗ então v⃗∥v⃗∥ é chamado versor de v⃗
E o que dizer de (1/α) v⃗ ?
Multiplicação de um escalar por vetor
Seja α um número real e v⃗ um vetor. Definimos o
vetor αv⃗ da seguinte maneira:
▶ se α = 0 ou v⃗ = 0⃗ então αv⃗ = 0⃗
▶ se α ̸= 0 e v⃗ ̸= 0⃗ então:
i) αv⃗//v⃗;
ii) αv⃗ e v⃗ tem o mesmo sentido se α > 0 e
sentido contrário de α < 0;
iii) ∥αv⃗∥ = |α|∥v⃗∥
Se v⃗ ̸= 0⃗ então v⃗∥v⃗∥ é chamado versor de v⃗
E o que dizer de (1/α) v⃗ ?
Multiplicação de um escalar por vetor
Seja α um número real e v⃗ um vetor. Definimos o
vetor αv⃗ da seguinte maneira:
▶se α = 0 ou v⃗ = 0⃗ então αv⃗ = 0⃗
▶ se α ̸= 0 e v⃗ ̸= 0⃗ então:
i) αv⃗//v⃗;
ii) αv⃗ e v⃗ tem o mesmo sentido se α > 0 e
sentido contrário de α < 0;
iii) ∥αv⃗∥ = |α|∥v⃗∥
Se v⃗ ̸= 0⃗ então v⃗∥v⃗∥ é chamado versor de v⃗
E o que dizer de (1/α) v⃗ ?
Multiplicação de um escalar por vetor
Seja α um número real e v⃗ um vetor. Definimos o
vetor αv⃗ da seguinte maneira:
▶ se α = 0 ou v⃗ = 0⃗ então αv⃗ = 0⃗
▶ se α ̸= 0 e v⃗ ̸= 0⃗ então:
i) αv⃗//v⃗;
ii) αv⃗ e v⃗ tem o mesmo sentido se α > 0 e
sentido contrário de α < 0;
iii) ∥αv⃗∥ = |α|∥v⃗∥
Se v⃗ ̸= 0⃗ então v⃗∥v⃗∥ é chamado versor de v⃗
E o que dizer de (1/α) v⃗ ?
Multiplicação de um escalar por vetor
Seja α um número real e v⃗ um vetor. Definimos o
vetor αv⃗ da seguinte maneira:
▶ se α = 0 ou v⃗ = 0⃗ então αv⃗ = 0⃗
▶ se α ̸= 0 e v⃗ ̸= 0⃗ então:
i) αv⃗//v⃗;
ii) αv⃗ e v⃗ tem o mesmo sentido se α > 0 e
sentido contrário de α < 0;
iii) ∥αv⃗∥ = |α|∥v⃗∥
Se v⃗ ̸= 0⃗ então v⃗∥v⃗∥ é chamado versor de v⃗
E o que dizer de (1/α) v⃗ ?
Multiplicação de um escalar por vetor
Seja α um número real e v⃗ um vetor. Definimos o
vetor αv⃗ da seguinte maneira:
▶ se α = 0 ou v⃗ = 0⃗ então αv⃗ = 0⃗
▶ se α ̸= 0 e v⃗ ̸= 0⃗ então:
i) αv⃗//v⃗;
ii) αv⃗ e v⃗ tem o mesmo sentido se α > 0 e
sentido contrário de α < 0;
iii) ∥αv⃗∥ = |α|∥v⃗∥
Se v⃗ ̸= 0⃗ então v⃗∥v⃗∥ é chamado versor de v⃗
E o que dizer de (1/α) v⃗ ?
Multiplicação de um escalar por vetor
Seja α um número real e v⃗ um vetor. Definimos o
vetor αv⃗ da seguinte maneira:
▶ se α = 0 ou v⃗ = 0⃗ então αv⃗ = 0⃗
▶ se α ̸= 0 e v⃗ ̸= 0⃗ então:
i) αv⃗//v⃗;
ii) αv⃗ e v⃗ tem o mesmo sentido se α > 0 e
sentido contrário de α < 0;
iii) ∥αv⃗∥ = |α|∥v⃗∥
Se v⃗ ̸= 0⃗ então v⃗∥v⃗∥ é chamado versor de v⃗
E o que dizer de (1/α) v⃗ ?
Propriedades da multiplicação de um
escalar
Proposição 3
Para quaisquer α, β reais e quaisquer
u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V 3:
M1 : α(u⃗+ v⃗) = αu⃗+ αv⃗;
M2 : (α + β)v⃗ = αv⃗ + βv⃗;
M3 : 1v⃗ = v⃗;
M4 : (αβ)v⃗ = α(βv⃗) = β(αv⃗).
Propriedades da multiplicação de um
escalar
Proposição 3
Para quaisquer α, β reais e quaisquer
u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V 3:
M1 : α(u⃗+ v⃗) = αu⃗+ αv⃗;
M2 : (α + β)v⃗ = αv⃗ + βv⃗;
M3 : 1v⃗ = v⃗;
M4 : (αβ)v⃗ = α(βv⃗) = β(αv⃗).
Propriedades da multiplicação de um
escalar
Proposição 3
Para quaisquer α, β reais e quaisquer
u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V 3:
M1 : α(u⃗+ v⃗) = αu⃗+ αv⃗;
M2 : (α + β)v⃗ = αv⃗ + βv⃗;
M3 : 1v⃗ = v⃗;
M4 : (αβ)v⃗ = α(βv⃗) = β(αv⃗).
Propriedades da multiplicação de um
escalar
Proposição 3
Para quaisquer α, β reais e quaisquer
u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V 3:
M1 : α(u⃗+ v⃗) = αu⃗+ αv⃗;
M2 : (α + β)v⃗ = αv⃗ + βv⃗;
M3 : 1v⃗ = v⃗;
M4 : (αβ)v⃗ = α(βv⃗) = β(αv⃗).
Propriedades da multiplicação de um
escalar
Proposição 3
Para quaisquer α, β reais e quaisquer
u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V 3:
M1 : α(u⃗+ v⃗) = αu⃗+ αv⃗;
M2 : (α + β)v⃗ = αv⃗ + βv⃗;
M3 : 1v⃗ = v⃗;
M4 : (αβ)v⃗ = α(βv⃗) = β(αv⃗).
Exerćıcios
1.Se u⃗//v⃗ e v⃗ ̸= 0 então u⃗ = αv⃗ para algum
α ∈ R.
2. Dois vetores u⃗, v⃗ são paralelos se, e somente se,
u⃗ = αv⃗ para algum α ∈ R.
Exerćıcios
1.Se u⃗//v⃗ e v⃗ ̸= 0 então u⃗ = αv⃗ para algum
α ∈ R.
2. Dois vetores u⃗, v⃗ são paralelos se, e somente se,
u⃗ = αv⃗ para algum α ∈ R.
Adição de vetores
Em V 3 vamos definir a operação de adição de
vetores.
Dados u⃗, v⃗ ∈ V 3 temos u⃗+ v⃗ ∈ V 3 onde:
u⃗ tem como representante o segmento orientado
(A,B)
v⃗ tem como representante o segmento orientado
(B,C)
u⃗+ v⃗ = A⃗C tem como representante o segmento
orientado (A,C).
(LOUSA).
Adição de vetores
Em V 3 vamos definir a operação de adição de
vetores.
Dados u⃗, v⃗ ∈ V 3 temos u⃗+ v⃗ ∈ V 3 onde:
u⃗ tem como representante o segmento orientado
(A,B)
v⃗ tem como representante o segmento orientado
(B,C)
u⃗+ v⃗ = A⃗C tem como representante o segmento
orientado (A,C).
(LOUSA).
Adição de vetores
Em V 3 vamos definir a operação de adição de
vetores.
Dados u⃗, v⃗ ∈ V 3 temos u⃗+ v⃗ ∈ V 3 onde:
u⃗ tem como representante o segmento orientado
(A,B)
v⃗ tem como representante o segmento orientado
(B,C)
u⃗+ v⃗ = A⃗C tem como representante o segmento
orientado (A,C).
(LOUSA).
Adição de vetores
Em V 3 vamos definir a operação de adição de
vetores.
Dados u⃗, v⃗ ∈ V 3 temos u⃗+ v⃗ ∈ V 3 onde:
u⃗ tem como representante o segmento orientado
(A,B)
v⃗ tem como representante o segmento orientado
(B,C)
u⃗+ v⃗ = A⃗C tem como representante o segmento
orientado (A,C).
(LOUSA).
Adição de vetores
Em V 3 vamos definir a operação de adição de
vetores.
Dados u⃗, v⃗ ∈ V 3 temos u⃗+ v⃗ ∈ V 3 onde:
u⃗ tem como representante o segmento orientado
(A,B)
v⃗ tem como representante o segmento orientado
(B,C)
u⃗+ v⃗ = A⃗C tem como representante o segmento
orientado (A,C).
(LOUSA).
Propriedades da adição
Proposição 4
Para quaisquer vetores u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V 3
A1: (u⃗+ v⃗) + w⃗ = u⃗+ (v⃗ + w⃗) (associativa)
A2: u⃗+ v⃗ = v⃗ + u⃗ (comutativa)
A3: u⃗+ 0⃗ = 0⃗ + u⃗ = u⃗ (existência do el. neutro)
A4: u⃗+ −⃗u = −⃗u+ u⃗ = 0 (existência do el.
oposto)
Propriedades da adição
Proposição 4
Para quaisquer vetores u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V 3
A1: (u⃗+ v⃗) + w⃗ = u⃗+ (v⃗ + w⃗) (associativa)
A2: u⃗+ v⃗ = v⃗ + u⃗ (comutativa)
A3: u⃗+ 0⃗ = 0⃗ + u⃗ = u⃗ (existência do el. neutro)
A4: u⃗+ −⃗u = −⃗u+ u⃗ = 0 (existência do el.
oposto)
Propriedades da adição
Proposição 4
Para quaisquer vetores u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V 3
A1: (u⃗+ v⃗) + w⃗ = u⃗+ (v⃗ + w⃗) (associativa)
A2: u⃗+ v⃗ = v⃗ + u⃗ (comutativa)
A3: u⃗+ 0⃗ = 0⃗ + u⃗ = u⃗ (existência do el. neutro)
A4: u⃗+ −⃗u = −⃗u+ u⃗ = 0 (existência do el.
oposto)
Propriedades da adição
Proposição 4
Para quaisquer vetores u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V 3
A1: (u⃗+ v⃗) + w⃗ = u⃗+ (v⃗ + w⃗) (associativa)
A2: u⃗+ v⃗ = v⃗ + u⃗ (comutativa)
A3: u⃗+ 0⃗ = 0⃗ + u⃗ = u⃗ (existência do el. neutro)
A4: u⃗+ −⃗u = −⃗u+ u⃗ = 0 (existência do el.
oposto)
Subtração de vetores
Para quaisquer vetores u⃗, v⃗ ∈ V 3
a subtração de dois veores u⃗, v⃗ é dada por:
u⃗− v⃗ = u⃗+ (−⃗v)