MEDIDAS DE BEM-ESTAR - lista 3

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LABORATÓRIO DE MICROECONOMIA II – NOTURNO 
 
LISTA 3 – MEDIDAS DE BEM-ESTAR 
 
LISTA AVALIATIVA – Valor: 10 pontos 
 
Instruções: 
i. As respostas devem ser enviadas NO MÁXIMO até às 20h de quarta (21/09/22). 
ii. A lista será resolvida na aula deste dia. 
iii. Os exercícios devem ser escaneados e enviados pelo Classroom ou entregues em 
papel, antes da aula. 
 
1. O que é calculado através da variação compensadora? E da variação equivalente? 
 
2. Sejam as preferências de um indivíduo do tipo Cobb-Douglas, cuja função de 
utilidade é 𝑈(𝑥 , 𝑦) = 𝑥0,5𝑦0,5. Suponha que sua renda seja 𝑚 = 300, 𝑝𝑥 = 1 e 
 𝑝𝑦 = 1. Se 𝑝𝑦 passa a ser 4, quanto será a variação compensadora da renda para 
que o consumidor fique tão bem quanto antes? E qual máximo de renda o 
consumidor estaria disposto a perder para evitar a modificação dos preços, pelo 
cálculo da variação equivalente? 
 
3. José, cuja função quase-linear é dada por 𝑈(𝑥 , 𝑦) = √𝑥 + 𝑦, possui renda 𝑚 =
2,5. O 𝑝𝑦 é unitário (ou seja = 1). Inicialmente, o 𝑝𝑥 = 0,25. Em um segundo 
momento passa a ser 𝑝𝑥 = 0,5. Ache o que se pede: 
 
(Relembrando: para achar as cestas ótimas de uma função quase-linear, basta 
igualar 
𝑝𝑥
𝑝𝑦
=
𝑈𝑚𝑔𝑥
𝑈𝑚𝑔𝑦
, em que 𝑈𝑚𝑔
𝑥
 e 𝑈𝑚𝑔
𝑦
 representam as derivadas parciais da 
função 𝑈(𝑥 , 𝑦), e substituir na equação da restrição orçamentária). 
 
a) A utilidade alcançada na situação inicial. 
b) A cesta consumida após a alteração dos preços. 
c) A variação compensadora. 
d) A variação equivalente. 
 
4. Suponha que o mercado de gasolina seja determinado pela função de demanda 
𝑄𝐷 = 2000 − 20𝑃 e pela função de oferta 𝑄𝑂 = −1000 + 40𝑃. Se é decretado 
que o preço máximo da gasolina será R$30, qual é a área da perda de excedente 
do produtor decorrente desse controle de preços? 
 
(QUESTÃO EXTRA – 2pts) Por que as funções quase-lineares apresentam 
resultados iguais nos cálculos da variação compensadora, da variação equivalente 
e do excedente do consumidor? 
1. A variação de renda necessária para levar o consumidor à sua curva de indiferença 
original é chamada variação compensadora da renda, uma vez que ela é a variação 
na renda que compensa o consumidor pela variação do preço. A variação 
compensadora mede quanto dinheiro adicional deve ser dado ao consumidor se 
quisesse compensá-lo pela variação de preço. 
Outra forma de medir em termos monetários o impacto de uma variação de preço 
consiste em perguntar quanto dinheiro teria de se tirar do consumidor antes da 
variação de preço para deixá-lo tão bem quanto estaria depois da variação de preço. 
Isso é chamado variação equivalente da renda, posto que é a variação na renda que 
equivale à variação de preço em termos de variação na utilidade. A variação 
equivalente mede a quantidade máxima de renda que o consumidor estaria disposto 
a pagar para evitar a variação de preço. 
 
 
 
2. a) 
 Max. 𝑈(𝑥 , 𝑦) = 𝑥0,5𝑦0,5 
Sujeito a 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 − 𝑚 = 0 
Sabendo que 𝑚 = 300, 𝑝𝑥 = 𝑝𝑦 = 1 𝑒 𝑝𝑦
′ = 4 
Já sabemos que: 
𝑥∗ =
𝑚
2𝑝𝑥
 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑠ℎ𝑎𝑙𝑙𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑥 
𝑦∗ =
𝑚
2𝑝𝑦
 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑠ℎ𝑎𝑙𝑙𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑦 
Antes da mudança de preço: 
𝑥∗ =
𝑚
2𝑝𝑥
=
300
2.1
= 150 
𝑦∗ =
𝑚
2𝑝𝑦
=
100
2.1
= 150 
Para achar a variação compensadora, igualo: 
𝑉(𝑝𝑥, 𝑝𝑦
′ , 𝑚′) = 𝑉(𝑝𝑥, 𝑝𝑦, 𝑚) 
Que é igual a: 
𝑈[𝑥(𝑝𝑥, 𝑚
′), 𝑦(𝑝𝑦
′ , 𝑚′)] = 𝑈[𝑥(𝑝𝑥, 𝑚), 𝑦(𝑝𝑦, 𝑚)] 
𝑈[𝑥(1, 𝑚′), 𝑦(4, 𝑚′)] = 𝑈(150,150) 
(
𝑚′
2.1
)
0,5
. (
𝑚′
2.4
)
0,5
= 1500,5. 1500,5 
𝑚′
4
= 150 
𝑚′ = 600 
 
𝑉𝐶 = 𝑚𝑜 − 𝑚′ 
𝑉𝐶 = 300 − 600 
𝑉𝐶 = −300 
Com aumento de 𝑝𝑦 o consumidor teria que ser compensado em 300 de acréscimo de 
renda para consumir como anteriormente. 
 
b) para achar variação equivalente é feito: 
Igualo: 
𝑉(𝑝𝑥, 𝑝𝑦, 𝑚
′) = 𝑉(𝑝𝑥, 𝑝𝑦
′ , 𝑚) 
Que é igual a: 
𝑈[𝑥(𝑝𝑥, 𝑚
′), 𝑦(𝑝𝑦, 𝑚
′)] = 𝑈[𝑥(𝑝𝑥, 𝑚), 𝑦(𝑝𝑦
′ , 𝑚)] 
𝑈[𝑥(1, 𝑚′), 𝑦(1, 𝑚′)] = 𝑈[𝑥(1,300), 𝑦(4,300) 
(
𝑚′
2.1
)
0,5
. (
𝑚′
2.1
)
0,5
= (
300
2.1
)
0,5
. (
300
2.4
)
0,5
 
𝑚′
2
=
300
4
 
𝑚′
2
= 75 
𝑚′ = 150 
 
𝑉𝐸 = 𝑚′ − 𝑚𝑜 
𝑉𝐸 = 150 − 300 
𝑉𝐸 = −150 
Com o aumento de 𝑝𝑦 o consumidor estaria disposto a diminuir sua renda inicial em 150 
para evitar a variação nos preços. 
 
3. 
Max. 𝑈(𝑥 , 𝑦) = √𝑥 + 𝑦 → 𝑥
1
2 + 𝑦 
Sujeito a 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 − 𝑚 = 0 
Sabendo que 𝑚 = 2,5, 𝑝𝑦 = 1, 𝑝𝑥 = 0,25 𝑒 𝑝𝑥
′ = 0,5 
 
Para achar o ótimo da função quase-linear: 
𝑝𝑥
𝑝𝑦
=
𝑈𝑚𝑔𝑥
𝑈𝑚𝑔𝑦
 
a) 
𝑝𝑥
𝑝𝑦
=
1
2
. 𝑥
−
1
2
1
 
𝑝𝑥
𝑝𝑦
=
1
2√𝑥
 
2√𝑥. 𝑝𝑥 = 𝑝𝑦 
√𝑥 =
𝑝𝑦
2𝑝𝑥
 
𝑥 = (
𝑝𝑦
2𝑝𝑥
)
2
 
𝑥∗ =
𝑝𝑦
2
4𝑝𝑥2
 
𝑥∗ =
12
4(0,25)2
 
𝑥∗ = 4 
Substitui na restrição para achar y*: 
𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝑚 
𝑝𝑥.
𝑝𝑦
2
4𝑝𝑥2
+ 𝑝𝑦𝑦 = 𝑚 
𝑝𝑦
2
4𝑝𝑥
+ 𝑝𝑦𝑦 = 𝑚 
12
4𝑝𝑥
+ 𝑦 = 𝑚 
𝑦∗ = 𝑚 −
1
4𝑝𝑥
 
𝑦∗ = 2,5 −
1
4. (0,25)
 
𝑦∗ = 2,5 − 1 
𝑦∗ = 1,5 
 
𝑈(𝑥∗, 𝑦∗) = √𝑥 + 𝑦 
𝑈(4, 1,5) = √4 + 1,5 
𝑈 = 3,5 
 
b) Cesta consumida após a mudança de preços 
𝑥(𝑝𝑥′, 𝑝𝑦, 𝑚) =
𝑝𝑦
2
4𝑝𝑥2
 
𝑥(0,5 , 1 , 2,5) =
12
4(0,5)2
=
1
1
= 1 
𝑦(𝑝𝑦, 𝑝𝑥′, 𝑚) = 𝑚 −
1
4𝑝𝑥
 
𝑦(1, 0,5, 2,5) = 2,5 −
1
4. (0,5)
= 2,5 −
1
2
= 2 
Nova cesta consumida 𝒙, 𝒚 = (𝟏, 𝟐) 
 
c) 
𝑉(𝑝𝑥′, 𝑝𝑦, 𝑚
′) = 𝑉(𝑝𝑥, 𝑝𝑦, 𝑚) 
𝑈[𝑥(𝑝𝑥′, 𝑚
′), 𝑦(𝑝𝑦, 𝑚
′)] = 𝑈[𝑥(𝑝𝑥, 𝑚), 𝑦(𝑝𝑦, 𝑚)] 
𝑈[𝑥(0,5, 𝑚′), 𝑦(1, 𝑚′)] = 𝑈[𝑥(0,25, 2,5), 𝑦(1, 2,5)] 
√
𝑝𝑦2
4𝑝𝑥′2
+ (𝑚′ −
1
4𝑝𝑥′
) = 𝑈(4, 1,5) 
√
12
4(0,5)2
+ (𝑚′ −
1
4. 0,5
) = 3,5 
√
1
1
+ 𝑚′ −
1
2
= 3,5 
1 + 𝑚′ − 0,5 = 3,5 
𝑚′ = 3,5 + 0,5 − 1 
𝑚′ = 3 
 
𝑉𝐶 = 𝑚𝑜 − 𝑚′ 
𝑉𝐶 = 2,5 − 3 
𝑉𝐶 = −0,5 
Devem ser dados R$0,50 ao consumidor para compensar a mudança no preço. 
 
d) 
𝑉(𝑝𝑥, 𝑝𝑦, 𝑚
′) = 𝑉(𝑝𝑥′, 𝑝𝑦, 𝑚) 
𝑈[𝑥(𝑝𝑥, 𝑚
′), 𝑦(𝑝𝑦, 𝑚
′)] = 𝑈[𝑥(𝑝𝑥′, 𝑚), 𝑦(𝑝𝑦, 𝑚)] 
√
𝑝𝑦
2
4𝑝𝑥2
+ (𝑚′ −
1
4𝑝𝑥
) = 𝑈[𝑥(0,5 , 2,5), 𝑦(1, 2,5)] 
√
12
4(0,25)2
+ (𝑚′ −
1
4. 0,25
) = 𝑈(1, 2) 
√
1
0,25
+ 𝑚′ − 1 = 3 
√4 + 𝑚′ − 1 = 3 
2 + 𝑚′ − 1 = 3 
𝑚′ = 3 − 2 + 1 
𝑚′ = 2 
 
𝑉𝐸 = 𝑚′ − 𝑚𝑜 
𝑉𝐸 = 2 − 2,5 
𝑉𝐸 = −0,5 
Com o aumento de 𝑝𝑥 o consumidor estaria disposto a diminuir sua renda inicial em 
R$0,50 para evitar a variação nos preços. 
Repare que VC=VE=EXCEDENTE DO CONSUMIDOR, já que a função é quase-linear 
os valores de VC e VE tem que ser iguais. 
 
4. 
𝑄𝐷 = 2000 − 20𝑃 
𝑄𝑂 = −1000 + 40𝑃 
𝑃 𝑓𝑖𝑥𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 30 
 
Se 𝑄𝐷 = 0 
2000 − 20𝑃 = 0 
−20𝑃 = −2000 
𝑃 = 100 
Se 𝑄𝑂 = 0 
−1000 + 40𝑃 = 0 
40𝑃 = 1000 
𝑃 = 25 
 
Preço de equilíbrio: 
2000 − 20𝑃 = −1000 + 40𝑃 
−20𝑃 − 40𝑃 = −1000 − 2000 
−60𝑃 = −3000 
𝑃∗ = 50 
Com 𝑃∗, 𝑄𝐷 = 𝑄𝑂, logo: 
2000 − 20𝑃 = 2000 − 20.50 = 1000 
Se P é fixado em 30: 
𝑄𝐷 = 2000 − 20𝑃 
𝑄𝐷 = 2000 − 20.30 
𝑄𝐷 = 2000 − 600 
𝑄𝐷 = 1400 
 
𝑄𝑂 = −1000 + 40𝑃 
𝑄𝑂 = −1000 + 40.30 
𝑄𝑂 = −1000 + 1200 
𝑄𝑂 = 200 
Graficamente, temos: 
 
 P S 
 100 
 
 P*=50 
 30 
 25 D 
 
 Q 
 200 1000 1400 
 
Perda de excedente do produtor = área colorida 
𝐸𝑃 = 20.200 + (
20.800
2
) 
𝐸𝑃 = 4000 + 8000 
𝐸𝑃 = 12000 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 
 
(QUESTÃO EXTRA) Em termos geométricos, as variações compensadora e equivalente 
são duas formas distintas de medir o “afastamento” entre duas curvas de indiferença. Em 
ambos os casos, medimos a distância entre duas curvas de indiferença pela observação da 
distância que separa suas linhas tangentes. Em geral, essa medida de distância dependerá 
da inclinação das linhas tangentes – isto é, dos preços que tenham sido escolhidos para 
determinar as retas orçamentárias. No entanto, a variação equivalente e a variação 
compensadora são iguais num caso importante– o da utilidade quase linear. Nesse caso, 
as curvas de indiferença são paralelas, de modo que a distância entre duas curvas de 
indiferença quaisquer é a mesma, não importando onde elas sejam medidas. No caso da 
utilidade quase linear, a variação compensadora, a variação equivalente e a variação no 
excedente do consumidor fornecem todas elas a mesma medida do valor monetário de 
uma variação de preço.